用 1 种颜色对图形进行部分着色

Question

我刚开始阅读图论，正在阅读有关图着色的内容。这个问题突然出现在我脑海中：

我们必须只用一种颜色为我们的无向图（不完全）着色，以使彩色节点的数量最大化。我们需要找到这个最大数量。我能够为非循环图制定一种方法：

我的方法：首先，我们将图划分为独立的组件，并对每个组件执行此操作。我们创建一个 dfs 树并在遍历它的同时创建 2 个 dp 数组，以便 root 排在最后：

dp[0][u]=sum(dp[1][visited children])

dp[1][u]=sum(dp[0][visited children])

ans=max(dp[1][root],dp[0][root])

dp[0][i] , dp[1][i] are initialized to 0,1 respectively.

这里 0 表示无色，1 表示有色。

但这不适用于循环图，因为我假设没有访问过的孩子被连接。

有人可以指导我如何解决循环图的这个问题（而不是通过蛮力）吗？是否可以修改我的方法，或者我们是否需要提出不同的方法？像为边缘最少的节点着色这样的贪婪方法会起作用吗？

Answer 1

这个问题也是 NP-Hard，被称为maximum independent set problem。

如果S 中的每两个顶点u,v 没有边(u,v)，则称集合S<=V 是图中的独立集。

S（也就是你要找的数）的最大尺寸称为图的独立数，不幸的是发现它是NP-Hard。

因此，除非 P=NP，否则您的算法无法用于一般用途的图表。

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证明它相当简单，给定一个图G=(V,E)，创建互补图G'=(V,E')，其中(u,v) 在E' 中当且仅当(u,v) 不在E 中。

现在，给定一个图 G，当且仅当在 G' 中存在一个大小为 k 的独立集合，使用相同的顶点（因为 if (u, v) 是独立集中的两个顶点，E' 中没有边 (u,v)，并且根据定义，E 中有边。对独立集中的所有顶点重复此操作，您在 @987654342 中得到了一个 clique @)。

由于clique problem 是 NP-Hard，所以这也是这样。