有多少个由N个数字组成的数字，总和为S？（动态规划）答案

【问题标题】：How many numbers made out of N digits, have the sum S? (dynamic programming)有多少个由N个数字组成的数字，总和为S？（动态规划）
【发布时间】：2019-10-04 08:08:52
【问题描述】：

所以我无法理解你是如何做到这一点的。你输入像 N=2 和 S=3，这意味着有多少个由 2 位数字组成的数字的总和 =3？比如 12 => 1+2= 3；对于 N=2 和 S=3 ，有 3 个数字：12、30、21。

我不太了解动态编程。你应该如何看待这个算法和类似的算法？

【问题讨论】：

试试谷歌。 geeksforgeeks.org/…
第 1 步：确定哪些数字具有该和。第 2 步：创建这些数字的所有组合。将所有可行位置的零位填充到 N 位，如果该数字超过 N 位，则拒绝。
动态编程就是在数据库中存储您已经完成的计算，并在需要使用它们的结果而不是再次计算时查找它们，因为查找在计算上比计算便宜.递归斐波那契的实现可以通过动态编程大大加快，但是这个问题......使用它似乎效率不高，也许......
除了@PaulOgilvie 所写的内容之外，如果目标只是计算数字，则不需要全部生成。您可以使用组合数学。这可能就是要使用“动态编程”部分的地方。
... 例如：如果你确定数字0、0、1、3之和为4，则总共有4位，2位非零，1位重复 2 次。所以这些数字的排列方式是 2 * 3！ /2！（第一个数字的 2 个组合，乘以 3！其余 3 个数字的组合，除以 2！重复数字）。这些数字总共有 6 种排列方式：1003、1030、1300、3001、3010、3100。

标签： c dynamic-programming

【解决方案1】：

想想蛮力/回溯解决方案。你会怎么写，你需要哪些状态，哪些状态可以删除？

对于这个特殊问题，您可以做的是在从最高有效数字开始的位置插入一个数字，然后移动到下一个位置以跟踪总和。插入所有数字后，如果总和为零，则将答案加 1。

所以 Backtrack 解决方案将是这样的

void f(int pos,int sum) {
    if(pos == n) {
        if(!sum) ans += 1;
        return;
    }
    for(int i = 0 ; i < 10 ; i++)
        f(pos + 1 , sum - i);
}

如果您能提出 backTrack 解决方案，那么您已经完成了 90% 的工作。对于动态编程，您只需保存状态，这样您就不必重新计算状态两次。另外，考虑极端情况和基本情况。在我们的 backTrack 解决方案中，我们有一个错误。我们不应该在最高有效数字处插入 0。修复所有这些代码应该看起来像这样

#define maxN 1000
#define maxSum 1000
#define i64 long long int
#define mod 1000000007

int n;
i64 dp[maxN][maxSum];

i64 f(int pos,int sum) {
        if(sum < 0) return 0;

        if(pos == n)
        {
                if(!sum) return 1;
                return 0;
        }


        if( dp[pos][sum] != -1)
                return dp[pos][sum];

        int lo = 0;
        if(!pos)
                lo = 1;

        i64 ans = 0;
        for(int i = lo ; i < 10 ; i++)
                ans += f(pos + 1, sum - i);

        ans %= mod;


         return dp[pos][sum] = ans;
}

int main()
{
        int s;

        cin >> n >> s;

        memset(dp,-1,sizeof dp);

        cout << f(0,s) << endl;


        return 0;
}

代码的时间复杂度为O(maxN * maxSum * 10)

您可以在线找到更优化的解决方案。但是一旦你了解了更多关于动态规划的知识，你就会意识到提出一个 dp 解决方案比其他解决方案更快、更容易。快乐编码。

【讨论】：