如何从一个位置找到所有可能的可达数字？

Question

给定2 elements n, s and an array A of size m，其中s is initial position位于1 <= s <= n之间，我们的任务是对s执行m个操作，在每个操作中我们要么使s = s + A[i]要么s = s - A[ i]，我们必须打印 m 操作后所有可能的值，并且所有这些值应介于 1 - n（包括）之间。

重要提示：如果在操作过程中我们得到一个值 s n， 我们不会在 s 的值上走得更远。

我使用 BFS 解决了这个问题，但问题是 BFS 方法在这里不是最优的，有人可以向我建议任何其他更优的方法或算法将有很大帮助。

例如：-

如果 n = 3，s = 3，并且 A = {1, 1, 1}

                            3
                         /     \
operation 1:           2         4  (we don’t proceed with 4 as it is > n)
                   /   \         /  \
operation 2:     1       3      3    5
                / \     / \    / \   / \
operation 3:   0   2   2   4  2   4  4  6

因此，按照上述规则可达到的最终值是 2 和 2（即 2 的两倍）。我们不考虑第三个，因为它有一个 > n 的中间状态（如果

Answer 1

有这个动态规划方案，运行在O(nm)时间，需要O(n)空间。

首先建立一个名为reachable的布尔数组，将其初始化为false，除了reachable[s]，即true。

这个数组现在表示一个数字是否可以在0 步骤中到达。现在对于从1 到m 的每个i，我们更新数组，以便reachable[x] 表示在i 步骤中是否可以访问数字x。这很简单：当且仅当x - A[i] 或x + A[i] 在i - 1 步骤中可以到达时，x 可以在i 步骤中到达。

最后，数组成为你想要的最终结果。

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编辑：这里是伪代码。

// initialization:
for x = 1 to n:
    r[x] = false
r[s] = true

// main loop:
for k = 1 to m:
    for x = 1 to n:
        last_r[x] = r[x]
    for x = 1 to n:
        r[x] = (last_r[x + A[k]] or last_r[x - A[k]])

如果x 不在[1 .. n] 范围内，这里last_r[x] 按照惯例是false。

如果您想保持每个数字可以达到的方式数量，那么您进行以下更改：

1. 将数组r改为整数数组；
2. 初始化时，将所有r[x]初始化为0，除了r[s]改为1；

3. 在主循环中，将关键行改为：

   r[x] = last_r[x + A[k]] + last_r[x - A[k]]