范围超集——寻找最大距离

Question

我有一个范围列表，每个范围都有相关的成本。一个例子是这样的：

1 to 1 | distance 10
1 to 2 | distance 9
2 to 3 | distance 8
3 to 4 | distance 2

我想在给定范围内构建具有最大距离（称为 L）的范围，条件是每个选择添加“L”的范围必须是“L”的超集。 “L”以一个空范围开始，所以任何东西都是它的超集。

例如，在给定的范围内，

Take the first range [1..1] and then the range [1..2]
which combined gives a distance of 19.

解释：

Since L is originally empty, [1..1] has the greatest distance so it is now L.
L is now [1..1] whose only superset is [1..2] so that is now L.
L is now [1..2] which has no supersets so the greatest possible distance is 10 + 9 = 19.

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我很确定这是一个动态规划问题，但我不知道可以使用的递归关系。这是最有效的方法吗？任何人都可以帮忙吗？

Answer 1

对于每一对范围，构建一个邻接矩阵 (i->j)，这意味着 i 是 j 的子集。您最终会得到多个有向图（其中一些相互断开）。

邻接矩阵可以如下构建：

首先将所有开始时间和结束时间按升序排序。
然后从左到右遍历它，并按排序顺序保持活动间隔开始时间的双端队列（双端队列）。
每当到达起点时，push_back 在双端队列中的间隔。
每当到达终点时，它就成为列表中开始时间小于该区间的所有区间的子区间。从前面弹出这个间隔。这将确保 O（区间的超集数）的时间复杂度
此操作的复杂度应为 O(n+E)，其中 n 是区间数，E 是边数。

对于每个图，现在的问题是在无环有向图中找到最长的路径。这个link 解释了如何解决这个问题，有一个小的变化是在你的问题中，成本与节点而不是边相关联。

编辑：对于示例间隔：

1a to 1b | distance 10
1c to 2a | distance 9
2b to 3a | distance 8
3b to 4 | distance 2

开始和结束时间的排序列表：

1a, 1c, 1b, 2b, 2a, 3b, 3a, 4

只要开始时间和结束时间重合，我们就会在结束时间之前取开始时间。

The deque is empty initially.   
1a added to deque from the back (start time of 1st interval).  
1c added to deque (start time of 2nd interval)  
The deque is now ___1a1c____ (double ended)  
1b (end time of 1st interval encountered)

现在从前面弹出，直到你得到它的开始时间 (1a)。

____1c_____

现在我们看到 1c 等于 1a，因此我们知道到达结束时间的区间是 1c 区间的子区间。所以我们从区间 1 到区间 2 构建一条边。

下一个 2b 被添加到双端队列（第 3 个间隔的开始时间）

_____1c2b___

然后遇到2a（第二个间隔的结束时间）

_____2b____

现在我们看到，与第一个 pop 不同，这里 1c 不等于 2b，因此不存在子区间关系。

下一个 3b 添加到双端队列（第 4 个间隔的开始时间）

_____2b3b___

然后遇到3a（第三个间隔的结束时间）

_____3b____

这里我们再次看到，2b 不等于 3b，因此不存在子区间关系。

最后一个区间也是如此。

所以我们看到我们最终在图中只有 1 条边，其余的都只是一个没有任何边的节点图。

Graph 1 cost: 10 + 9 = 19.
Graph 2 cost: 8.
Graph 3 cost: 2

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