如何在一个范围内生成 2 个不相邻的随机数

Question

我需要在 [A..B] 范围内生成 2 个随机数，并限制数字不能相邻。 我想在恒定时间内完成（我不想一直画到第二个值好）。

我可以想到几种方法来做到这一点：

• 选择第一个，然后选择适合它的后一个：从[A..B-2] 范围内绘制V1，然后从[V1+2..B] 范围内绘制V2
• 选择它们之间的距离，然后放置它们：从[2..B-A] 绘制d，从[0..B-A-d] 绘制V1，然后V2=V1+d
• 选择第一个，然后选择第二个的偏移量：从整个范围绘制 V1，然后从[A+2-V1..B-V1-1] 范围绘制 d，并设置 V2= d<=0 ? V1-2+d : V1+1+d
• 选择第一个，然后用环绕选择到第二个的距离：从[A..B]选择V1，从[0..A-B-2]选择d，V2 = V1+d； V2 = V2>B ? V2-(B-A)

我想要最随机的方法（产生最多的熵，分布最均匀）。我认为最后两个是等效的，比前两个更随机。还有更好的方法吗？

Answer 1

假设范围是[0, n)。对于随机无序不相邻对，从[0, n-2) 生成一个随机无序对并将更大的元素增加2 就足够了。后者可以通过来自[0, (n+1)n/2) 的双射映射来完成。

import random


def randnonadjpair(n):
    i, j = randunordpair(n-2)
    return i, j+2


def randunordpair(n):
    i = random.randrange((n+1)*n//2)
    if n%2 == 1:
        if i < n:
            return i, n-1
        i -= n
        n -= 1
    h = n//2
    q, r = divmod(i, h)
    if q < h:
        return q, h + r
    q -= h
    if q <= r:
        return q, r
    return n-q, n-1-r

---

（此答案适用于有序对。）

有2 (n-2) + (n-2) (n-3) = n^2 - 3 n + 2 的方法可以从n 的长度范围内选择两个有序的不相邻元素。在0 和n^2 - 3 n + 2 之间生成一个随机数x，然后将其双射映射到有效结果：

def biject(n, x):
    if x < n - 2:
        return (0, x + 2)
    x -= n - 2
    if x < n - 2:
        return (n - 1, x)
    x -= n - 2
    q, r = divmod(x, n - 3)
    return (q, r if r < q - 1 else r + 3)

Answer 2

如果你想要最大熵，那么你的两个选择必须是独立的。因此，第二选秀权的价值不受第一选秀权的限制；两者都必须从可用的整个范围中选择。这意味着独立选择两个数字，将它们作为一对进行检查，如果这对不合适，则拒绝两者。在伪代码中，它看起来像：

function pickPair()
  repeat
    num1 <- random(A, B)
    num2 <- random(A, B)
  until (notAdjacent(num1, num2))
  return (num1, num2)
end function

您在方法notAdjacent() 中检查两个数字的约束。

您没有说明范围 [A..B] 的大小。给定一个相当大的范围，那么不得不拒绝一对的机会就很低。或者，始终选择固定数量的对并返回任何符合您标准的对：

function constantTimePickPair
  pairFound <- false
  repeats <- 5 // Or enough to ensure certainty of a valid pair.
  do repeats times
    num1 <- random(A, B)
    num2 <- random(A, B)
    if (notAdjacent(num1, num2))
      pairFound <- true
      result <- (num1, num2)
    end if
  end do

  if (NOT pairFound)
    throw error "Pair not found."
  end if

  return result
end function

您需要设置足够多的重复次数，以在统计上确定找到有效配对。

Answer 3

下面的方法怎么样：

V1 = rand(A..B)
V2 = rand(A+2..B-1)
V2 += V2 > V1 ? 1 : -2

另外，应该提到的是，对于第二个选择，您无法在此处获得均匀分布。

左侧和右侧的边框物品被拾取的机会略多。

内部数字的概率是(B-A-3)/(B-A)，而边框元素的概率是(B-A-2)/(B-A)。

Answer 4

这是我目前的计划：

给定目标范围[A..B]。它的长度L 是A-B+1。我们想选择V1,V2，这样V2不在[V1-1..V1+1]范围内
如果V1 是A，那么L-2 可能是V2
如果V1 是A+1，则L-3 可能是V2。
...
扩展这个模式，我们得到P 的可能性总数为sum([1..L-2])。 （这是@David Eisenstat 提出的数字的一半）。

如果我们在[0,P)范围内选择一个数字N，那么我们可以生成对应的组合：

V1 = A
T = L-2
while (N >= T):
   N -= T
   T -= 1
   V1 += 1
V2 = V2 + N + 2  

Answer 5

我会这样做：

• 从 [A..B] 中绘制 V1
• 如果 V1 == A || V1 == B 从 [A..B-1] 绘制 V2，否则从 [A..B-2] 绘制 V2

• 做：

  if(V2 >= V1 - 1) V2++;
  if(V2 >= V1 + 1) V2++;
  

第一次检查确保V1 - 1不能是V2的值
第二次检查确保V1 + 1 不能是V2 的值。
或者，换句话说，这会将值重新映射到 [A..V1-2][V1][V1+2..B]。

由于这不会丢弃或重复任何值，因此分布应该很好。

此答案当前假定 V1 == V2 有效。

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其实不然，上面的分布会有偏差。
如果N = B - A + 1，

• 对于一个数字 = A 或 = B，有 N - 2 对包含它
• 对于[A+1...B-1] 中的数字，只有N - 3 对包含它。

计算M 的对数，在[1..M] 中画一个数字并将其映射回相应的对，如 David Eisenstats 的答案中所述。