【问题标题】：Correctness of Bellman-Ford Algorithm, can we still do better?Bellman-Ford 算法的正确性，我们还能做得更好吗？
【发布时间】：2013-11-16 21:46:08
【问题描述】：
我了解到 Bellman-Ford 算法的运行时间为 O(|E|*|V|)，其中 E 是边数，V 是顶点数。假设该图没有任何负加权循环。
我的第一个问题是，我们如何证明在 (|V|-1) 次迭代中（每次迭代检查 E 中的每条边），在给定特定起始节点的情况下，它会更新到每个可能节点的最短路径？有没有可能我们已经迭代了 (|V|-1) 次，但仍然没有得到到每个节点的最短路径？
假设算法的正确性，我们实际上可以做得更好吗？在我看来，并非所有边在特定图表中都具有负权重。 Bellman-Ford 算法似乎很昂贵，因为每次迭代都要经过每条边。
【问题讨论】：
标签：
algorithm
graph
bellman-ford
proof-of-correctness
【解决方案1】：
从源到任何顶点的最长可能路径最多会涉及图中的所有其他顶点。换句话说 - 您不会有一条路径不止一次地通过同一个顶点，因为这必然会增加权重（这只是因为没有负循环这一事实才成立）。
在每次迭代中，您将更新该路径中下一个顶点的最短路径权重，直到在 |V|-1 次迭代之后，您的更新必须到达该路径的末尾。之后，将不会有任何具有非紧密值的顶点，因为您的更新已经覆盖了该长度的所有最短路径。
这种复杂性很紧凑（至少对于 BF），想想一长串连接的顶点。选择最左边的作为源 - 您的更新过程必须一次从那里到另一边一个顶点。现在您可能会争辩说您不必以这种方式检查每条边，所以让我们加入一些具有非常大权重（N > |V|*max-weight）的随机边——它们帮不了你，但是您的算法无法确定这一点，因此如果必须通过这些权重更新顶点的过程（它们仍然比初始无穷大更好）。