美丽的人 - 动态规划

Question

我正在尝试在http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=199 解决美丽的人问题，但在某些测试用例中我得到了错误的答案。

一个城市最负盛名的体育俱乐部正好有 N 个成员。 它的每个成员都强壮而美丽。更准确地说，第 i 个 该俱乐部的成员（成员按他们进入的时间编号 俱乐部）有实力斯和美人碧。由于这是一个非常 有声望的俱乐部，其成员非常富有，因此 非凡的人，所以他们常常极度憎恨对方。 严格来说，俱乐部的第 i 个成员 X 先生讨厌俱乐部的第 j 个成员 如果 Si ≤ Sj 且 Bi ≥ Bj 或如果 Si ≥ Sj 且 Bi ≤ Bj（如果 X先生的两个属性都大于相应的属性 Y 先生，另一方面，如果他的两个 属性少，他很尊重Y先生）。

为了庆祝新的 2003 年，俱乐部的管理部门是 计划组织一个聚会。但是他们害怕如果两个 互相憎恨的人会同时参加聚会，之后 一两杯他们就会开始打架。所以没有两个讨厌的人 应该互相邀请。另一方面，为了保住俱乐部 presti≥在适当的级别，行政部门希望邀请作为 尽可能多的人。

做行政中唯一不怕碰的人 一台计算机，你要编写一个程序来找出谁 邀请参加聚会。

输入

输入文件的第一行包含整数 N — 的数量 俱乐部成员。 （2 ≤ N ≤ 100,000）。接下来的 N 行包含两个 每个数字 - 分别为 Si 和 Bi ( 1 ≤ Si, Bi ≤ 10^9 )。

输出

在输出文件的第一行打印最大数量 可以被邀请参加聚会的人。在第二行输出 N integers — 以任意顺序邀请的成员数量。如果 存在多种解决方案，输出任何一种。

Sample test(s)

Input


4
1 1
1 2
2 1
2 2

Output


2
1 4 

基本上我的做法是：

1. 首先根据 Beauty[] 对数组 Strength[] 进行排序
2. 采用一个数组 D[i] 存储最大 lis 直到 i
3. 最佳解决方案 = D(i) = { 1 + Max ( D(j) ) } 其中 j < i 和 D[i] = max{ D[j] +1 }for j < i 和 Strength[j] < Strength[i] 和 Beauty[j] < Beauty[i] ，如果没有这样的 j 则 D(i) = 1

我的方法有什么遗漏吗？

我的解决方案：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std; 
typedef struct {
    long int s;
    long int b;
} c_type;
int compare(const c_type &a, 
        const c_type &b) {
    return a.s < b.s;
}

int main( )
{


int n = 0;
cin>>n;
vector<c_type> ct;
ct.resize(n);
//vector<long int> b(n,-1);
//s[0] = 1;
//s[1] = 1;
//s[2] = 2;
//s[3] = 2;
//b[0] = 1;
//b[1] = 2;
//b[2] = 1;
//b[3] = 2;

vector<long int> d(n,1);
vector<long int> p(n,-1);
long int max = -1;
long int bestEnd = -1;
for(int i = 0 ;i<n;i++)
{
    cin>>ct[i].s>>ct[i].b;
}
 sort (ct.begin(), ct.end(), compare);
for(int i  = 1 ; i < n ;i++)
{
    for(int j  = i-1 ; j>=0 ; j--)
    {
        if(((d[j] + 1) > d[i]) and (ct[j].b < ct[i].b) and (ct[j].s < ct[i].s))
        {
            d[i] = d[j]+1;
            p[i] = j;
        }
    }
    if(max < d[i])
    {
        max = d[i];
        bestEnd = i;
    }
}
cout<<max<<endl;
if(bestEnd != -1)
while(bestEnd not_eq -1)
{
    cout<<bestEnd+1<<" ";
    bestEnd = p[bestEnd];
}
return 0;
}

Answer 1

您的解决方案为人员输出了不正确的索引。对输入进行排序后，它们的顺序发生了变化。只需将附加索引存储到您的结构中并使用它。
但是，由于 O(N^2)，您的代码将获得 TLE。您需要 O(NlogN) 解决方案，这是 LIS 的经典解决方案。

Answer 2

因此，有一种有趣的方式可以从几何角度考虑这个问题。想象一下，绘制一个以 S,B 为轴的图形，并为每个人放置一个 x。 （也删除任何重复的点，即如果 s=s 和 b=b 你可以只删除其中一个）。

那么对于每个点/人，只有矩形中较低和左侧的点是可行的选择。所以我可以给每个人一个代表尊重他们的人数的数字。拨打这个号码 C。

这为 a* 搜索提供了一种可接受的启发式方法。从右上角的根节点开始，我的“最佳”移动通常是具有最高 C 数的移动，因为它为以后保留了最多的选项。此外，一旦我找到了树根的一个根，我只需要选择其他分支，如果它们的 C 数高于实际人数，那么大部分树会很快终止。

我怀疑这种类型的搜索平均而言是最优的，但根据点的分布情况，它可能会出现缓慢的边缘情况。

所以这演示了它是如何工作的，你从某个根节点开始，在第一次运行时它会到达最高的 C 编号，当它终止时，它会重新计数以提供“答案”，因此它只必须检查 C 数严格大于当前最佳答案的分支。在这种情况下，没有这样的其他分支。

很容易直观地看出，如果点均匀分布在 S 和 B 中，这可能会非常快，但如果它们在 y=x 附近强烈聚集，则可能会非常慢，因为这样您就不会很快排除分支通常。