关于动态编程问题中子问题的混淆[关闭]

Question

机器人位于 3 x 7 网格的左上角（在下图中标记为“开始”）。

机器人只能在任何时间点向下或向右移动。机器人正试图到达网格的右下角（在下图中标记为“完成”）。

有多少种可能的独特路径？

例如，在这个问题中，我们可以应用 DP 策略将其分解为多个子程序。

我的问题是针对每个子问题，我们是否也有子网格？每个子问题是否共享同一个网格或每个子问题的网格形状可以改变？

例如，如果我们计算 (1,6) 的路径计数（开始 (0,0) ，结束 (2,6)），我们只考虑形状为 2 X 6 的网格，删除最后一行。

Answer 1

这取决于你。子问题是相同形式的较小问题，此决定是您如何定义该形式的一部分。要么：

“机器人可以从 MxN 网格的左上角移动到右下角有多少种方式？”在这种情况下，是的，每个子问题都会有不同大小的网格，机器人必须穿过整个东西。

或

“机器人可以在网格上的 M 和 N 个空间中移动多少种方式？”在这种情况下，所有子问题都使用相同的网格，但您不必在角落开始和结束。

任何一种方式都有效。然而，这个问题通常会因障碍而扩展。在这种情况下，只有子网格公式有效，因为障碍物的位置很重要。

Answer 2

IMO，因为鉴于 Robot can only move down or right at any time 存在限制，您可以说对于每个子问题，网格的形状都发生了变化，因为您无法移回除右侧或底部以外的位置（如果它们可用） .

所以如果在第一次移动之后你向右移动（1R，2C），你现在只能去（1R，3C 或 2R，2C）。所以在某种程度上，网格的形状已经改变了那个子问题。