在 O(n^2) 中重构省略空格的字符串答案

【问题标题】：Reconstruct the whitespace-omitted string in O(n^2)在 O(n^2) 中重构省略空格的字符串
【发布时间】：2017-02-22 21:38:55
【问题描述】：

我想检查我的算法是否正确。

给定一个包含 n 个字符且所有空格都省略的字符串，

Ex: "itwasthebestoftimes"

给出一个动态规划算法，该算法确定字符串是否可以分解为有效的单词序列，并在 O(n²) 内用空格重构一个有效的字符串。

我的想法：

首先找到一个字符串的所有子字符串(O(n²))，并为每个子字符串映射它在空间中的位置和长度作为一个区间。

Ex:  "it was the best"
      [] [-] [-] [--]
       [---]  []    
          []

（添加了空间以使其更易于查看）。

在上面的例子中，“it”是有效的，得到一个区间值2，“was”得到3，等等。字符串“twas”也是有效的，得到一个值4。

然后将其简化为最小最大问题，以找到间隔集中的最大非重叠长度。由于有效字符串必须包含所有字母，因此最大长度的非重叠间隔将是答案，找到它需要 Theta(n*log(n))。

因此解决方案将采用 O(n² + n*log(n)) = O(n²)

我的想法对吗？

【问题讨论】：

你如何选择哪个子字符串去哪一行？当您尝试将新的子字符串放入较低的行时，因为它重叠，您怎么知道 - 也许通过重新排列行中的现有子字符串，您可以在某处放置新的子字符串？
抱歉，已编辑。子字符串进入哪个“行”并不重要，对于极小极大求解器来说是任意的。重要的是检查是否存在由区间坐标给出的碰撞。这些行只是为了简化视觉表示
实际上，您是否有任何指向 O(n log n) 算法的指针，用于查找最大总长度间隔的不相交子集？在 O(n^2) 中很容易做到（使用相同的动态编程），但我没有立即看到（并且在简短搜索后找不到任何材料）如何在 O(n log n) 中做到这一点。您确定您没有将这个问题与找到最大 number 个不相交间隔而不是最大 total length 混为一谈吗？对于最大数量的贪心算法，确实是 O(n log n)。
@avysk，这是图形形式的等效问题。 wincent.com/wiki/…
这根本不是等价的，它是关于线性路径的。对于重叠区间，结构更复杂，同样的动态规划方法会给出 O(n^2)。

【解决方案1】：

您的想法很好（假设您知道找到最大不重叠区间集的问题的 O(n log n) 解决方案），并且您知道在 O(n^ 2）时间。但是，我认为问题比你做的要容易。

创建一个数组W[0...n]。如果无法将 i 以后的字符串切割成单词，W[i] 将为 0，否则它将存储开始有效切割字符串的单词的长度。

然后：

W[i] = min(j such that W[i:j] is a word, and i+j = n or W[i+j]>0)
       or 0 if there's no such j.

如果您保留字典，则可以在 O(n-i) 时间内计算 W[i]，假设您已经计算了 W[i+1] 到 W[n-1]。这意味着您可以在 O(n^2) 时间内计算出所有 W。或者如果你的字典中单词的最大长度是k，你可以在 O(nk) 时间内完成。

计算完所有W 后，当且仅当W[0] 不为0 时，整个字符串才能被分割成单词。

【讨论】：