使用动态规划解决加法链问题

Question

给定一个正整数 A。目标是使用以下规则构建以 A 结尾的最短整数序列：

1. 序列的第一个元素是 1
2. 每个连续元素都是前面任意两个元素的总和（也允许向自身添加单个元素）
3. 每个元素都大于前面的所有元素；也就是说，序列是递增的。

例如，对于 A = 42，可能的解决方案是：

[1, 2, 3, 6, 12, 24, 30, 42]

A = 42 的另一种可能的解决方案是：

[1, 2, 4, 5, 8, 16, 21, 42]

看完问题陈述后，我首先想到的是dynamic programming（DP），因此我将其表示为search problem并尝试编写递归解决方案。

直到 A = 8 的搜索空间是：

                1
                |
                2
               / \
              /   \            
             3     4
            /|\   /|\
           / | \ 5 6 8
          /  |  \
         4   5   6
       /| |\  
      5 6 7 8

我们可以看到 4 出现在两个地方，但是在这两种情况下 4 的孩子都是不同的。在一种情况下，先验序列是 [1, 2, 4]。在另一种情况下，先验序列是 [1, 2, 3, 4]。因此，我们不能说我们有重叠的子问题。有没有办法将DP应用于上述问题？还是我判断可以使用DP解决是错误的？

Answer 1

这是一个加法链...

http://en.wikipedia.org/wiki/Addition_chain

没有已知的算法可以计算 给定数量的最小加法链，并保证 合理的时间或小的内存使用。然而，几种技术 计算相对较短的链存在。一个非常有名的 计算相对较短的加法链的技术是 二进制 方法，类似于平方取幂。其他知名 方法是因子法和窗口法。

另请参阅：New Methods For Generating Short Addition Chains IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics、Communications and Computer Sciences。

Answer 2

这个问题有一个纯动态规划的解决方案。但与所有 DP 解决方案一样，内存和时间的复杂度都是 N 平方。所以它可能是一个太空猪。但这里是专为 DP 爱好者提供的 DP 解决方案的症结所在：

概括：

而不是找到N即加法链的最小长度。 l(N)，我们要找到包含 i 和 j 的加法链的最小长度，其中 i ≤ j 和 j 是链中的最大值。将此长度称为 A(i, j)。显然，我们有

1. l(N) = A(1, N) = A(N,N)
2. A(1, N) = A(2, N) 如果 N ≥ 2
3. A(1, N) = 1+min (A(i, j) for 1 ≤ i ≤ j

预先计算

为了使用较小的 A(i, j) 计算任何 A(m, n)，这是一个典型的 DP 步骤，我们应用了一些启发式算法。

H1: 在此过程中为 (3) 的最小部分保持 S(i+j)。那么

 A(1, n) = A(2, n) = A(n, n) = S(n)+1

对于其他m，我们通过在链中最多引入一个新元素来减少n，并且对于这样一个新元素，我们只需要多一步来得出A（m，n）。可能性是

H2: 如果 n 是偶数，我们尝试将 n/2 引入链
H3: 尝试将 n-m 引入链
H4： 尝试将 n-1 引入链中
H5： 尝试将 n-2 引入链中（当 n>2 时）

所以A(m, n)取m的A的最小值和基于H2-H5的减少的n，再加1。

例如，A(52, 100) = 1+min(A(50, 52), A(48, 52), A(52, 99), A(52, 98)) 分别应用H2-H5 .

Answer 3

由于规则 #2，

每个连续的元素都是前面任意两个元素的和

该算法确实依赖于重复的子问题，因此动态规划将适合解决它。