解决硬币上的动态规划问题

Question

考虑以下问题

给定无限数量的镍币（5 美分）和便士（1 美分）。编写代码计算表示 n 美分的多种方式。

我的代码

def coins(n):
    if (n < 0):
        return 0
    elif (n == 0):
        return 1
    else:
        if (cnt_lst[n-1] == 0):
            cnt_lst[n-1] = coins(n-1) + coins(n-5)
        return cnt_lst[n-1]

if __name__ == "__main__":
    cnt = int(input())
    cnt_lst = [0] * cnt #Memiozation
    ret = coins(cnt)
    print(ret)

以上方法计数重复模式不止一个（显然我没有明确检查它们）。

[5,1,1,1,1,1] [1,5,1,1,1,1] [1,1,5,1,1,1] 等

随着n 的增长，维护另一个包含先前看到的模式的列表将需要大量内存。我们可以使用什么其他方法来克服这个问题？

Answer 1

您可以使用二维数组，而不是使用一维列表，其中一维是总数，第二维是可用的最大值硬币。

假设C 是您按升序排列的硬币值列表（在您的示例中为C = [1, 5]）。然后让A[i][j] 是用硬币0 到j 来表示价值i 的方式数。

我们知道对于任何j、A[0][j] = 1，因为只有一种表示值0 的方法：没有硬币。

现在假设我们要找到A[8][1]，用便士和镍表示 8 美分的方式数。每个表示将使用镍或不使用。如果我们不使用镍币，那么我们只能使用便士，所以有A[8][0] 方法可以做到这一点。如果我们确实使用镍币，那么我们还剩下3 美分，所以有A[3][1] 方法可以做到这一点。

要计算A[8][0]，我们只有一枚硬币可用，所以A[8][0] = A[7][0] = ... = A[0][0] = 1。

要计算A[3][1]，我们不能使用镍，因为3 < 5，所以A[3][1] = A[3][0]。从那里我们有A[3][0] = A[2][0] = ... = 1 如上所述。

一般：

A[i][j] = A[i][j-1] if i < C[j]
          else A[i][j-1] + A[i-C[j]][j]

此算法适用于任何一组硬币值。

Answer 2

虽然您的实现是典型的 Coin Change Problem 的转折，但维度减少了 1，这可能会导致您重复计算很多组合，但我认为对于给定的硬币系统来说它并不复杂。

我认为解决方案很简单floor(N/5) + 1

由于您只能使用 5 美分的[0..N/5]，所以剩下的您必须使用 1 美分

这很容易做到，因为您的硬币系统是规范的，并且可以应用贪婪算法/心态。

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如果你坚持使用动态规划来解决问题，你需要添加一个维度，它代表了使用的是哪种类型的硬币。此方法适用于任何硬币系统

定义C(x, m):= The # of ways to make number x using first m type of coins

所以现在递归公式变为：

C(x, m) = C(x-coin_type[m], m) + C(x, m-1)，表示你选择使用第m种硬币，或者不使用

这里的重点是，为什么这种重复有效而你的无效，是状态的迭代顺序。

使用这个递归公式，我们可以做类似的事情

For i = 0 to # of coin_type
    For j = 0 to n
       C(j, i) = C(j-coin_type[i], i) + C(j, i-1)

请注意，外部循环强制对硬币类型进行迭代排序。说coin_type = {1,3,5}，循环首先只计算使用{1}的方式，然后循环的下一次迭代将计算使用{1,3}的方式，最后一次迭代将计算使用{1,3的方式， 5}。

您永远不会使用 {3,1,5} 或 {1,5,3}...等计算方式。硬币类型的顺序是固定的，这意味着你不会重复计算任何东西