放置邮箱以最小化居民获取邮件的总距离的算法

Question

假设输入被指定为一组建筑物对象，其中每栋建筑物都有一定数量的居民及其与街道起点的距离。

总距离 = SUM(距离[i] * #residents[i])

我在这里发现了两个相似但要求略有不同的问题：

• Minimizing weighted sum：这道题的解法是找到穿越所有点的最小路径。在这里，我正在寻找从每个建筑物到邮箱所在位置的总距离的最小总和。

• Minimum Total Distance From Locations：它使用二维坐标，更重要的是，该解决方案没有考虑每个位置的权重（居民数量）。

我在阅读 Elements of Programming Interviews（非常好的书，顺便说一句）时看到了这个问题，这被列为快速选择算法的一种变体。考虑到中位数是最小化距离总和的点，看起来解决方案将涉及快速选择以在 O(N) 中找到位于街道“中位数”位置的建筑物。

但我无法弄清楚如何计算每栋建筑物的居民并仍然保持解决方案线性。

Answer 1

我们可以使用增量来确定方向。我会解释我的意思。因为它涉及在其中一栋建筑物（即不在两栋建筑物之间）选择邮箱位置：

选择其中一栋建筑作为枢纽（可能的邮箱位置）。根据建筑物相对于枢轴的位置对建筑物进行分区。分区时，记录枢轴两侧最近的建筑物，以及（1）枢轴两侧的居民总数，以及（2）f(side, pivot)代表每个建筑物的总和到枢纽的距离乘以该建筑物中的居民数量。

现在我们有了：

L pivot R

要确定是否可以对我们的选择进行改进，请尝试我们之前记录的每个最近的建筑物：

如果我们将我们选择的一栋建筑物向左移动，结果会如何变化？我们称左边最近的建筑物为build_l，右边为build_r。因此，将我们选择的一栋建筑物向左移动的新结果是：

左侧：

  f(L, pivot)
- distance(build_l, pivot) * num_residents(build_l)

右侧：

  f(R, pivot) 
  // we saved this earlier
+ total_residents(R) * distance(pivot, build_l)
+ num_residents(pivot) * distance(pivot, build_l)

执行类似的计算，将选择的一栋建筑物向右移动，看看哪个产生的总数较小。然后选择具有改进的建筑物的一侧，并以类似的快速选择方式递归地对其进行分区，直到找到最佳结果。另一方面，我们会跟踪居民总数，以及到目前为止f 的总结果，我们可以随时更新新增内容。

Answer 2

我会用以下方式解决它（下面的伪代码）。

从左到右传递数组并计算所有居民 j 将邮箱放入房屋 i 的成本

# When we place mailbox at building i, all its residents contribute 0 to the total cost.
current_number_of_residents += residents_at_building[i-1]

# For each resident we've seen so far, the cost is increased by building_location[i] - building_location[i-1]
distance_delta = building_location[i] - building_location[i-1]

C_left[i] = C_left[i-1] + distance_delta * current_number_of_residents

然后我们以类似的方式从右到左处理数组。 现在我们可以通过检查最小总和找到最佳位置：

min_total_distance = min(min_total_distance, C_left[i] + C_right[i])

时间复杂度为 O(n)，因为我们对数组进行了 3 次遍历。保留 C_left 和 C_right 数组的空间复杂度为 O(n)。

快速选择算法的复杂度（由@גלעד-ברקן 建议）平均也是 O(n)，但在最坏的情况下可能是 O(n^2)。所以我看不出这种方法比我建议的方法有什么好处。欢迎任何cmets。