渐近最坏情况运行时间。需要澄清一下答案

【问题标题】：Asymptotic worst-case running time. Need some clarification渐近最坏情况运行时间。需要澄清一下
【发布时间】：2014-09-29 15:46:56
【问题描述】：

对于下面的mystery(n) 函数的伪代码，找到其渐近最坏情况运行时间f(n) 的严格上限和下限。也就是说，找到g(n) 使得f(n) ∈ Θ(g(n))。（假设n为正整数）

Mystery (n ){                  
 c ←1                          | (constant)
 for i ←1 to n                 | n
   do for j ←i to n            | j
     do for k ← n down to n/2  | n/2
       do c ← c + 1            | (constant)
 print c                       | (constant)
}

总时间：(n/2)nj（不确定）

侧面的时间标签是我迄今为止发现的。对于这个问题，最好和最坏情况的运行时间似乎没有区别？此外，我怎样才能找到这种方法的严格上限和下限？任何建议都会很棒。或者我可以阅读的资源，因为我的教科书在这个主题上非常模糊。

【问题讨论】：

尝试将其写为仅外循环上的操作总和(n^2/2 + (n-1)*n/2 + ...)

标签： algorithm big-o complexity-theory asymptotic-complexity

【解决方案1】：

j 不应出现在您的公式中，因为 j 也是 n 的函数。

每当您有一个依赖于外部循环变量的循环时，我发现查看求和公式来找出复杂性是最容易的。

所以外层循环肯定会运行n 次，而最内层循环肯定会运行n/2 次，但一般情况下是n/2 ∈ O(n)。

那么让我们看看中间的循环。

中间循环在第一次迭代中运行(n-1) 次，然后在第二次迭代中运行(n-2) 次，一直到(n-n) 等于0 次。您可以将这些项重新排列为简单的 0 到 n 的总和。我们知道这个总和等于n(n+1)/2。

由于这个公式代表了外循环和中间循环的组合，您可以简单地将最内循环相乘，得到最终公式n(n+1)n/(2*2) == n^2(n+1)/4。

您应该意识到的一个概念是，由于c 只是一个计数器，并且在每次迭代时都会递增，所以c 可以被认为是该算法运行时复杂度的直接表示。

您可以通过计算c 来验证此结果。这是一个用 C 编写的示例程序来演示此算法：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main(int argc, char *argv[]) {
  int c = 0;
  int n = 10;
  if (argc > 1) {
    n = atoi(argv[1]);
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    for (int j = i; j <= n; ++j) {
      /* Note that I've changed k to run from 0 to n/2 instead of n
         down to n/2, but this doesn't change the result. */
      for (int k = 0; k < n/2; ++k) {
        ++c;
      }
    }
  }
  printf("c == %d; n^2(n+1)/4 == %d\n", c, n*n*(n+1)/4);
}

这是上述程序对输入 2、4、8、32 和 64 的输出：

c == 3; n^2(n+1)/4 == 3
c == 20; n^2(n+1)/4 == 20
c == 144; n^2(n+1)/4 == 144
c == 8448; n^2(n+1)/4 == 8448
c == 66560; n^2(n+1)/4 == 66560

【讨论】：

这非常有帮助！谢谢！我确实有一个问题，因为它与您的答案有关。用严格的上限和下限的大写θ表示法来说明这一点，我会简单地使用结果公式中最重要的项，对吗？这样 n^3 * n^2 将是 n^3，因为它在足够大的数据集中是最重要的。
是的，只要你的意思是 (n^3 + n^2) 而不是 (n^3 * n^2)，那就是真的。我假设这是一个错字，但以防万一 (n^3 * n^2) 为 n^5。
是的，我写错了。简化得到的公式后，您剩下 n^3 作为最重要的术语。

【解决方案2】：

Mystery (n ){                  
 c ←1                          | (constant)
 for i ←1 to n                 | n
   do for j ←i to n            | j
     do for k ← n down to n/2  | n/2
       do c ← c + 1            | (constant)
 print c                       | (constant)
}

关于运行n 次的外循环是正确的。但是，下一个循环将在 i=1 时运行 n 次，在 i=2 时运行 n-1 次，...，在 i=n-1 时运行 2 次，在 i=n 时运行一次。平均而言，j 循环将运行n/2 次，所以这个中间循环也被认为是一个 O(n) 循环。当您组合所有三个嵌套循环时，这给出了 O(n^3) 的总运行时复杂度。

【讨论】：