mxn 矩阵中的最小 L 和 - 2

Question

这是我的first question 关于最大 L 总和，这是它的不同和硬版本。

问题：给定一个 mxn 正 整数矩阵，求从 第 1 行 到 第 m 行。 L(4项)喜欢象棋马步

示例：M = 3x3

0 1 2

1 3 2

4 2 1

可能的 L 步是：(0 1 2 2), (0 1 3 2) (0 1 4 2) 我们应该从 1th 行到 3th 行，总和最小

我用动态编程解决了这个问题，这是我的算法：

1. 取一个 mxn 另一个 Minimum L Moves Sum 数组并复制主矩阵的第一行。我称之为 (MLMS) 2. 从第一个单元格开始，向上查找 L 移动并计算它
3. 如果小于存在值，则将其插入 MLMS
4. 执行第 2 步。直到第 m'th 行
5. 选择第 m'th 中的最小总和> 行

让我一步一步解释我的例子：

1. M[ 0 ][ 0 ] sum(L1 = (0, 1, 2, 2)) = 5 ;总和（L2 =（0,1,3,2））= 6；所以 MLMS[ 0 ][ 1 ] = 6
   总和(L3 = (0, 1, 3, 2)) = 6;总和（L4 =（0,1,4,2））= 7；所以 MLMS[ 2 ][ 1 ] = 6
   

2. M[ 0 ][ 1 ] sum(L5 = (1, 0, 1, 4)) = 6;总和（L6 =（1,3,2,4））= 10；所以 MLMS[ 2 ][ 2 ] = 6
   

   ... 最后一个 MSLS 是：
   0 1 2
   4 3 6
   6 6 6
   表示 6 是从 0 到 m 可以达到的最小 L 和。

我认为是 O(8*(m-1)n) = O(mn)。是否有适合此问题的最佳解决方案或动态规划算法？

谢谢，问了这么长的问题

Answer 1

矩阵中如何同时存在0-th 和m-th 行，总共有m 行？

无论如何，一个简单的Dijkstra 将为您提供O(n*m) 中的最佳路径（假设您有一个良好的数据结构可以在尚未到达的点列表中找到最小值）。

另外，如果你的马只能在棋盘上向下移动（有时向上移动以减少总路径权重很有用），你可以编写简单的 DP。只需从棋盘底部开始，为每个位置计算到达底部所需的时间。由于您可以从每个位置最多进行 4 次移动，因此这是一个简单的最小值检查。像这样的

for (int row = m - 1; row >= 0; --row) {
    for (int col = 0; col < m; ++col) {
        int path1 = a[row][col + 1] + a[row][col + 2] + a[row + 1][col + 2] + best[row + 1][col + 2];
        int path2 = a[row][col + 1] + a[row + 1][col + 1] + a[row + 2][col + 1] + best[row + 2][col + 1];
        int path3 = ...
        int path4 = ...
        best[row][col] = min(path1, path2, path3, path4);
    }
}

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为什么需要上去？想象一下这样的矩阵（其中* 表示一些非常大的数字，例如 1000000000）。显然，你必须先从(0, 0) 走到棋盘的右侧，然后才能下楼。

111111111111
111111111111
*********111
*********111

所以，路径将如下所示

...1...1...1
11...1...1..
*********11.
*********11.