Julia：我们如何计算伴随或经典伴随（线性代数）？

Question

我想计算Julia 1.0中的经典伴随词

为此，我复制了wikipedia 中作为示例给出的矩阵

julia> B = [-3 2 -5; -1 0 -2; 3 -4 1]
3×3 Array{Int64,2}:
 -3   2  -5
 -1   0  -2
  3  -4   1

在我看来，这似乎是计算 B 的转置，而不是它的伴随。相反，我们应该得到这个（来自wikipedia）：

并尝试使用 Julia 文档 here 中提到的 adjoint() 函数获得它的伴随，尽管文档没有具体说明该函数的作用

julia> adjoint(B)
3×3 Adjoint{Int64,Array{Int64,2}}:
 -3  -1   3
  2   0  -4
 -5  -2   1

相反，我想得到这个：

在 Matlab 中我确实得到了：

>> adjoint(B)

ans =

   -8.0000   18.0000   -4.0000
   -5.0000   12.0000   -1.0000
    4.0000   -6.0000    2.0000

Answer 1

Julia 的伴随被定义为输入矩阵的复共轭的转置。但是，您似乎想要 adjugate 矩阵：

共轭有时被称为“伴随”，但今天矩阵的“伴随”通常是指它对应的伴随算子，也就是它的共轭转置。

您可以通过求逆，然后乘以行列式来计算辅助矩阵：

julia> det(B) * inv(B)
3×3 Array{Float64,2}:
 -8.0  18.0  -4.0
 -5.0  12.0  -1.0
  4.0  -6.0   2.0

感谢 Julia Slack 上的 @Antoine Levitt 和 @Syx Pek 提供了行列式反转和乘法的建议。

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原答案：

辅助矩阵似乎是辅因子矩阵的转置。下面是寻找辅因子的简单实现：

# import Pkg; Pkg.add("InvertedIndices")
using InvertedIndices # for cleaner code, you can remove this if you really want to.
function cofactor(A::AbstractMatrix, T = Float64)
           ax = axes(A)
           out = similar(A, T, ax)
           for col in ax[1]
               for row in ax[2]
                   out[col, row] = (-1)^(col + row) * det(A[Not(col), Not(row)])
               end
           end
           return out
       end

然后，要找到对数，你只需要转置 (transpose(cofactor(B)))。

答案是：

julia> cofactor(B, Float64) |> transpose
3×3 Transpose{Float64,Array{Float64,2}}:
 -8.0  18.0  -4.0
 -5.0  12.0  -1.0
  4.0  -6.0   2.0

相当于Matlab给出的。

编辑：Julia slack 上的@Antoine Levitt 指出，这本质上是一个重新缩放的逆矩阵，所以如果你计算出缩放因子，你可以做inv(B) * scaling_factor（在这个矩阵的情况下，它是 6） .