最大可能的倍数之和

Question

你会怎么解决这个问题？

您有 2 个数组，每个数组有 n 个数字，n

例如：

n = 4;
first array contains : 16 6 2 10
second array contains : 3 8 12 9
Output : 336

对于第二个数组中的第一个数字 - 3 - 您可以从 16,6 和 2. 最好的选择是选择 2. 现在总和是 3 * 2 = 6;
对于第二个数组中的第二个数字 - 8 - 您可以从 16、6、10 中选择（数字 2 是 已经使用过的）。最好的选择是选择 6。将 8 * 6 加到 sum 上，所以 sum 是 现在 54.
对于第二个数组中的第三个数字 - 12 您可以选择 16,10（2 号和 6 号已使用）。最好的选择是选择 16。 加 12 * 16 到 sum，所以 sum 现在是 246。
从第二个开始的最后一个数字 数组 - 9 - 你只能选择 10。将 9 * 10 加到 sum 中，所以 sum 现在是 336.

我的想法很少，但每个想法都是错误的。例如，我尝试对两个数组进行排序，然后第二个数组中的最大数字乘以第一个数组中的最大可能数字（因为 1. 第二个数组中的数字只能从第一个数组中的 1.-3. 位置中选择，第二个数字只能选择从 1.-4. 等），但这是不对的。另外我还有一些解决方案，但我很难解释它们，因为我不知道如何用英语表达它（但我可以发布代码并尝试解释它），而且它们也不正确。
编辑：我发现了一些可能解决我的问题的算法。第一个是Hungarian algorithm，第二个是Auction Algorithm。这是我第一次接触线性规划...我了解匈牙利算法的工作原理，但我无法实现。在拍卖算法中，我什至不确定它是如何工作的。另外，我不知道他们是否足够快。匈牙利算法的时间复杂度是 O(n^3)，在我的例子中我是 n Assignment problem 中，每个“工人”都可以做每一个“工作”，但在我的情况下，这不是真的。
也许可以是Max flow problem，但我不太确定，因为我需要一个完美的匹配——这意味着每个顶点都匹配——我不知道这个算法是否能保证。

Answer 1

首先，就我而言，不清楚为什么对于第二个数组中的第一个数字，我们应该只使用第一个数组中的三个第一项，而对于第二个数组中的其他数字，我们使用第一个数组中的任何数字。

但是，我们可以将这两个数组表示为二分图，其中第二个数组中的每个数字都连接到第一个数组中的（每个？*）数字。在该图中，每条边 (u,v) 的权重等于数组 (u*v) 中两个数字的乘积。 对于给定的图表，您应该解析max flow problem。

* 如果我正确理解了这个问题，您应该将第二个数组的第一个数字与第一个数组的前 3 个数字连接起来，并将第二个数组的每个其他数字与第一个数组的每个数字连接起来。

Answer 2

继续这样做，直到使用完每个数字。写出这些倍数的最大可能和

这看起来像是一个离散的组合优化问题。我想到的第一个解决这个问题的算法是使用 Branch and Bound 算法。

它允许回溯，你可以用递归来实现它。

Answer 3

我使用JuMP 在Julia 中实现了混合整数编程方法。它适用于您的示例，一般概念应该有效，但可能需要更多测试！

即使你不熟悉 julia，它也应该很容易阅读。请记住，索引从 1 开始（如在 Matlab 中）而不是 0（如在 C、Java、...中）

基本思想如下（阅读 cmets 以了解更多信息）：定义一个具有维度 (N,N) 的二进制变量 X：如果 X[a,b] == 1 -> A[b] 在步骤a。

最难理解的部分是 bigM-Formulation，它只是 cmets 中解释的逻辑的一个不同的公式。它的唯一目的是线性化！

using JuMP

N = 4
A = [16 6 2 10]
B = [3 8 12 9]

# MODEL
m = Model()

# VARS
@defVar(m, x[1:N, 1:N], Bin)  # N steps, N vars/indices // binary

# CONSTRAINTS
# (1) exactly one var chosen in each step
for s = 1:N 
    @addConstraint(m, sum(x[s,:]) == 1)
end

# (2) each var is chosen exactly once
for v = 1:N 
    @addConstraint(m, sum(x[:,v]) == 1) 
end 

# (3) if var v chosen in step s -> are enough predecessors already taken away -> is in positions 1:3?
for s = 1:N 
    for v = 1:N 
        needed_pops_before = v - 3
        if needed_pops_before > 0
            # bigM formulation:
            # formula: (x[s,v] == 1) -> sum of predecessors taken away until now >= needed_pops
            #   use deMorgan-law -> !(x[s,v] == 1) -> sum >= needed_pops    
            #   formulate with bigM = N because needed_pops limited by N-3
            @addConstraint(m, N * (1-x[s,v])  + sum{x[ss,jj], ss=1:s-1, jj=1:v-1} >= needed_pops_before)
        end 
    end 
end

# OBJECTIVE
@setObjective(m, Max, sum{B[s] * A[v] * x[s,v], s=1:N, v=1:N})

# SOLVE
status = solve(m)

# OUTPUT
println("Objective is: ", getObjectiveValue(m))
println("Solution: ")
for s = 1:N 
    for v = 1:N 
        if getValue(x[s,v]) > 0.00001
            print(A[v], " ")
        end 
    end
end

输出：

Objective is: 336.0
Solution:
2 6 16 10