抽象“爬楼梯”算法以允许用户输入允许的步长增量答案

【问题标题】：Abstract the "stair climbing" algorithm to allow user input of allowed step increment抽象“爬楼梯”算法以允许用户输入允许的步长增量
【发布时间】：2014-01-22 16:56:41
【问题描述】：

在查看了常见的stair climbing problem 之后，我开始怀疑是否可以将其抽象为一个函数，该函数允许输入楼梯数量和允许的最大增量步骤作为参数。

我希望能够用这个签名编写一个函数。如果max_step_increment 为 4，则意味着爬楼梯者一次可以走 1、2、3 或 4 步。

def stair_paths(num_steps, max_step_increment):
    ...
    return answer

我会将此函数称为stair_paths(10, 4)。

【问题讨论】：

标签： algorithm dynamic-programming

【解决方案1】：

用 Java 解决。如果您的方法声明是：

    int stairPaths(int numSteps, int maxStepIncrement)

正如你所定义的，这里是动态编程解决方案：

    int stairPaths(int numSteps, int... stepsAllowed)
    {
        if (stepsAllowed.length == 0) {
            return 0;
        }
        Arrays.sort(stepsAllowed);
        if (stepsAllowed[0] < 1) {
            throw new IllegalArgumentException("Invalid step increment " + stepsAllowed[0]);
        }
         int maxStepIncrement = stepsAllowed[stepsAllowed.length - 1];
        int[] priorElements = new int[maxStepIncrement];
        priorElements[maxStepIncrement - 1] = 1;
        priorElements[maxStepIncrement - 2] = 1;
        for (int i = 2; i <= numSteps; i++) {
            int nextElement = 0;
            for (int j = 0; j < stepsAllowed.length; j++) {
                nextElement += priorElements[maxStepIncrement - stepsAllowed[j]];
            }
            for (int k = 1; k < maxStepIncrement; k++) {
                priorElements[k - 1] = priorElements[k];
            }
            priorElements[maxStepIncrement - 1] = nextElement;
        }
        return priorElements[maxStepIncrement - 1];
    }

【讨论】：

【解决方案2】：

令 f[n] 表示通过所有允许的步骤到达 n 个楼梯的路径数。

最初f[0]=1，剩下的都是0。

那么，f[i]=sigma(f[i-allowedSteps[j]])，其中 allowedSteps[j] 是所有可能的允许步数。

最后的答案应该是 f[numStairs]，在你的例子中就是 f[10]。

【讨论】：