最大排列数

Question

一些排序算法，如插入排序，对于 n! n 个元素的可能排列，这意味着对于这些排列，对于某个常数 k，插入排序所做的比较次数为 kn。对于给定的常数 k，任何给定的比较排序可以在 kn 次比较中终止的最大排列数是多少？

Answer 1

插入排序中的操作次数取决于反转次数。所以我们需要评估n 值的排列数量（为简单起见，1..n），正好包含k 反转。

我们可以看到Inv(n, 0) = 1 - 排序数组
还有Inv(0, k) = 0 - 空数组

我们可以得到带有n元素和k反转的数组：
- 将值n 添加到数组的末尾，带有n-1 项和k 反转（因此反转的数量保持不变） -在数组末尾插入值n，带有n-1 项和k-1 反转（因此添加一个反转）
- 在数组末尾的两个元素之前插入值 n，带有 n-1 项和 k-2 反转（因此添加两个反转）
-等等

使用这种方法，我们可以逐行和逐个单元格地填写表格Inv[n][k]

  Inv[n][k] = Sum(Inv[n-1][i]) where j=0..k

Answer 2

每次比较最多会使您可以区分的输入排列的从不翻倍。因此，通过kn 比较，您最多可以对2^(kn) 排列进行排序。