排列数字以形成最大数 - 算法证明

Question

有众所周知的algorithmic problem，给定数字数组，例如[1, 20, 3, 14] 以这样一种方式排列数字，使它们尽可能形成最大的数字，在这种情况下为 320141。

在 SO 和其他网站上有很多解决方案，使用以下算法：

String[] strs = new String[nums.length];
for(int i=0; i<nums.length; i++){
    strs[i] = String.valueOf(nums[i]);
}

Arrays.sort(strs, new Comparator<String>(){
    public int compare(String s1, String s2){
        String leftRight = s1+s2;
        String rightLeft = s2+s1;
        return -leftRight.compareTo(rightLeft);

    }
});

StringBuilder sb = new StringBuilder();
for(String s: strs){
    sb.append(s);
}

return sb.toString();

它确实有效，但我找不到该算法的正式证明。 quora 有一个答案，但我不会称之为正式证明。

谁能给我一个证明草图或参考一些书或文章？如何从最初的问题中得到这个解决方案？

PS 我试图解决最初的问题，但我的解决方案是错误的，我无法正确解决，现在我无法完全理解解决方案。

Answer 1

关于符号：我将使用管道来分隔数字，所以它是 更容易在 同时：3|20|14|1

让我们暂时假设这个关系——我们称之为R 由<= 运算符表示——由比较定义 函数是一个总订单。由表达式决定

-(a+b).compareTo(b+a)

直观地说，如果我们有两个数字 a 和 b 并且 b|a 是 大于 a|b，b 应该获得比 a 更高的排名，即它应该 在解决方案中出现在 a 的左侧。如果 a|b 大于 b|a，则相反 圆形的。如果 a|b = b|a，则顺序无关紧要。

需要注意的重要一点是，这种关系不仅影响两个 数字 a 和 b 被单独考虑，但也告诉我们一些事情 关于两个数字嵌入的结果数字：

如果 a，那么 x|a|b|y x|b|a|y

其中 x 和 y 是数字 任意长度。换句话说：如果我们有一个数字序列 我们用 a 交换两个相邻的数字 a 和 b，结果 之后数字将大于或等于。

示例：3|14|20|1 因为 14

我们现在可以假设解决方案不是唯一的 我们的关系 R 暗示了一个矛盾：让我们假设 解决方案是一些不符合R的特定序列。因为 R 是 总顺序，我们可以通过交换重新排列数字以匹配 R 相邻元素，直到顺序符合R。这种重新排序可以 与冒泡排序相比。但是，在每个交换操作中 引导我们到新订单，结果数量增加！这是 显然是矛盾的，所以原来的顺序不能是 解决方案。

剩下要显示的是 R 是一个全序，即它是 传递的、反对称的和完全的。既然你要了一张草图 证明，我将省略这部分。最重要的部分是证明 传递性，即那个

a 和 b 暗示 a 。

Answer 2

这是算法的草图。对于您给定的列表：

[1, 20, 3, 14]

想一想如何找到最大的级联数。

对于最重要的数字，选择具有最大初始数字的数字。 （在示例中，选择 3，然后选择 20。因此答案以 320 开头。）

其余数字 1 和 14 以相同的初始数字（即 1）开头。下一步该选哪个？这就是算法的核心compare 函数发挥作用的地方。它将构建数字并比较哪个数字更大，即 114 与 141。return 语句上的负号将确保较大的数字先出现。所以答案是 320141。

（该算法实际上并不比较初始数字，而是将字符串从词汇上最大到最小排序。）