最近点到点，最近点到线

Question

想象一下二维平面中的一组m 点，称为“候选点”。然后是以下两种情况之一：

• 还有一组n点（“对象”）——见图1

• 还有一组n 线与 X 或 Y 轴（“对象”）共线 - 见图 2

我想知道哪个候选对象对的笛卡尔距离最短。

请问，有谁知道这个问题在计算几何中是否有名称？有没有比 O(m*n) 更快的算法？如果对象保持不变，只有候选对象发生变化——通过一些巧妙的预计算，是否有可能比 O(m*n) 更快？

图。 1

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图。 2

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-------------+----------------------------------+------  
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Answer 1

这基本上是对所有候选人的最近邻搜索。您可以使用kd tree 索引加速这些类型的问题。

Answer 2

我不明白您将如何从对象创建线条。为每个对象创建两条线：一条垂直线和一条水平线，是吗？

在任何情况下，假设您有垂直线 v1,v2,..,va 和水平线 h1,h2,...,hb。

垂直线按照x轴偏移排序，水平线按照y轴偏移排序。

对候选集中的每个点进行二分搜索以获得最近的垂直和水平线。现在计算最接近的 (candidate,line) 对是微不足道的。

Answer 3

您要查找的名称很可能是 NNS（请参阅：http://en.wikipedia.org/wiki/Nearest_neighbor_search），是的，给定一些时间和空间来预计算一组静态“对象”，执行搜索的速度应该比 O(n *m)。

即使使用构建二叉搜索树的最简单方法，您也应该能够将单个查找的时间复杂度降低到 O(log n)，从而导致整个问题的 O(m log n)。

Answer 4

你有两个一维问题而不是一个二维问题。 将所有“候选对象”投影到 x 和 y 轴上，然后将垂直“对象”放在 x 轴上，水平放置在 y 轴上。

瞧！两个一维问题。

现在是 1d。

将所有'condidates'放入排序数组，对于每个'object'，使用二分搜索在该数组中查找包含段（两个最接近的'condidates'）。

结果为 O(n log m + n log n)