循环的递归关系

【问题标题】：Recurrence Relation for a loop循环的递归关系
【发布时间】：2010-10-20 13:37:28
【问题描述】：

问题是建立一个递归关系来找到算法给出的值。答案应该是 teta() 术语。

foo = 0;

for int i=1 to n do
    for j=ceiling(sqrt(i)) to n do
        for k=1 to ceiling(log(i+j)) do
             foo++

【问题讨论】：

这是作业吗？如果是这样，请将其标记为这样。
标记的作业，重新格式化是什么意思。我是这个平台的新手。有什么我需要用来格式化的吗？
那么，现在，具体的问题是什么？您希望我们发布最终解决方案吗？ -- foo 代表什么？
我修改它 foo 是每一步递增的变量。我想要一个递归关系“f(n) = blah blah”，这是所有迭代后 foo 的最终值

标签： algorithm complexity-theory recurrence

【解决方案1】：

不完全确定，但就是这样。

第二个循环执行 1 - sqrt(1) + 2 - sqrt(2) + ... + n - sqrt(n) = n(n+1)/2 - n^1.5 次 => O(n^2) 次。有关sqrt(1) + ... + sqrt(n) = O(n^1.5) 的讨论，请参阅here。

我们已经确定第三个循环将被触发O(n^2) 次。所以该算法渐近等价于这样的：

for i = 1 to n do
    for j = 1 to n do
        for k = 1 to log(i+j) do
            ++foo

这导致总和log(1+1) + log(1+2) + ... + log(1+n) + ... + log(n+n)。 log(1+1) + log(1+2) + ... + log(1+n) = log(2*3*...*(n+1)) = O(n log n)。这乘以n，得到O(n^2 log n)。

所以你的算法也是O(n^2 log n)，如果我没记错的话也是Theta(n^2 log n)。

【讨论】：

+1: Theta(n^2 log n) 看起来是对的，因为没有交出递归关系...