递归循环

Question

问题是返回概率，如果您从 10,000 开始并且需要达到 20,000，并且您每次下注 1,000（达到 20,000 的概率在您达到 0 之前）。您有 50-50 的输赢变化。

public static double roulette( double start, double end, double bet) {

    if (start >= end) return 1;
    if (start <= 0) return 0;

        return .5*roulette(start+2*bet,end,bet) + .5*roulette(start-bet,end,bet);
}

但它会陷入无限循环，因为一些递归调用将重新开始。就像我打了一个 start = 11,000 的电话，它会回到 10,000 并创建一个循环。我该如何防止这种情况？

Answer 1

对于关于“在到达 0 之前达到 20,000 的概率”的具体查询，可以通过 Random Walk over a one dimensional graph 来解决，如下所述：

“如果 a 和 b 是正整数，那么从 0 开始的一维简单随机游走首先到达 b 或 -a 的预期步数为 ab。此游走在 -a 之前到达 b 的概率为b/(a+b)，可以从简单随机游走是鞅这一事实推导出来。”

给定，步行原点 = 10000，a=10000（距 0 的距离），b=10000（距 20000 的距离），& 步长 =1000： 在 -a = 10000/(10000 + 10000) = 1/2 之前到达 b 的概率。

不确定这是否就是您想要实现的全部，这将是一行返回语句。

另一方面，给定的实现最终将探索可能解决方案的整个空间（即达到 0 或 20000 的所有可能方式）。请参阅RandomWalk.pdf 中的概率和帕斯卡三角形部分，了解其增长模式及其长期运行时间。您的实现已经开始沿着帕斯卡三角形的最右边的分支/对角线进行探索，并继续探索所有可能的分支。

相反，一种替代方法可能是尝试实现一种方法，该方法计算第一次达到 20000（或 0）的概率（不是以所有可能的方式）然后中断。选择右（赢）或左（输）at random。对几次运行的数字进行平均，这应该非常接近概率，如上面计算的 ~1/2。

有趣的是，n 步后随机游走所覆盖的预期距离 = sqrt(n)。这可用于估计正确实现的算法达到 20000 或 0 所需的迭代次数或递归调用次数（复杂度）。 在这种情况下，距离 n = ((20000-10000)/1000) = 10，平均需要大约 n*n = 100 步/迭代。

Answer 2

这是一个建议的迭代解决方案（我将实现留给您）：

为了更短，让我们找到roulette(10,20,1)（相当于你的roulette(10000,20000,1000)）。让我们用r(10) 表示roulette(10,20,1)。

现在，让我们计算r(i)，其中i 从0 变为20。

• r(0) = 0 - 即如果您没有钱，就没有机会获胜。
• r(20) = 1 - 因为这意味着你赢了。

现在让我们计算另一个r(i)s：

• r(1) = 0.5 * r(2) + 0.5 * r(0) = 0.5 * r(2) + 0 = 1/2 * r(2)

• r(2) = 0.5 * r(3) + 0.5 * r(1) = 0.5 * r(3) + 0.5 * (0.5 * r(2))

意思是

• r(2) = 2/3 * r(3)

如果你继续这些计算，你会发现

• r(3) = 3/4 * r(4)
• r(4) = 4/5 * r(5)

...

• r(18) = 18/19 * r(19)
• r(19) = 19/20 * r(20) = 19/20 * 1 = 19/20

现在我们找到了r(19)，我们可以找到r(18)：

• r(18) = 18/19 * 19/20 = 18/20
• r(17) = 17/18 * r(18) = 17/18 * 18/20 = 17/20

...

• r(10) = 10/20 = 0.5

因此，如果您从 10000 开始并且需要达到 20000，并且您每次下注 1000，那么您有 50% 的机会达到 20000。

Answer 3

正如我在 cmets 中提到的，概率是所有以 start >= end 或 left < 0 结尾的概率的总和。

static double roulette(double start, double end, double bet, int left) {
    if (start >= end && left >= 0)
        return 1; // you definitely win.
    if (start < bet || left < 0)
        return 0; // you cannot win.
    double win = 0.5 * roulette(start + bet, end, bet, left - 1);
    double lose = 0.5 * roulette(start - bet, end, bet, left - 1);
    return win + lose; // you get a 0.5-0.5 to win or lose.
}

例如，假设 start 是 100，end 是 200，bet 是 50。 如果总数为 2，则只有一种方式：100->150->200，即概率为 0.25。但是如果总数是4，你可以有以下几种获胜方式：100->150->200、100->150->100->150->200、100->50->100->150-> 200。获胜的概率是0.375。