为什么这个算法是线性的而不是线性的？答案

【问题标题】：Why is this algorithm linear and not linearithmic?为什么这个算法是线性的而不是线性的？
【发布时间】：2013-01-23 18:19:01
【问题描述】：

int sum = 0; 
for (int n = N; n > 0; n /= 2)
   for (int i = 0; i < n; i++)
      sum++;

我很确定它会在 nlogn 中增长，但被告知它是线性的……为什么它是线性的而不是线性的？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

它是线性的。想象一下n 是 64。内部循环运行 64 次，然后是 32 次，然后是 16 次，然后是 8 次，然后是 4 次，然后是 2 次，然后是 1 次。 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127。

所以它需要2n-1 总操作数（对于 2 的幂，但这不会改变分析），假设内部循环没有被优化掉。这显然是O(n)——线性。

如果内部 for 循环被优化掉（到sum += n;），它是对数的。

【讨论】：

【解决方案2】：

这个算法的复杂度是Θ(N)。

操作次数为

sum{2**k} for k = 0..log2(N)

这个级数的总和是

2*N-1

这是 Θ(N)。

【讨论】：

【解决方案3】：

形式上，使用 Sigma 表示法可以帮助您清楚地看到增长顺序是线性的。

【讨论】：