如何使用离散方法进行优化算法

Question

我遇到了this answer，他说有一个比 O(n^2) 更快的“花哨的离散数学”。我无法理解如何在 O(n^2) 下完成链接的问题。

我将如何处理离散问题以尝试理解更快的解决方案？

任务描述：

在列表中查找“幸运三元组”的数量。 “幸运三元组”被定义为“在列表 lst 中，对于三元组的任意组合，例如 (lst[i], lst[j], lst[k]) 其中 i

Answer 1

似乎我们没有足够的信息来回答，因为答案还取决于列表中的最大元素m。比O(n^2) 更快的两种方法是n^2 > n * sqrt(m) 或n^2 > m * log(m) + n * log(m)。

在第一种情况下，我们可以通过直接枚举遍历每个 lst[i]s 除数，花费时间 O(sqrt(lst[i]))，并查看其中有多少已被看到，已记录了已看到除数的计数. （对于我们的讨论，除数的数量是恒定的，因为在我们的条件下，它的大小与m 和n 相比可以忽略不计。）例如，

2 8 5 16

2  -> nothing to do
8  -> divisors 2 4
      record {8: 1 divisor seen}
5  -> no divisors seen
16 -> divisors 2 4 8
      found 8 with 1 count in our record
      
Total 1 triple

在第二种方法中，我们预先计算了从 2 到 m 的每个数字的最小素因数，以便我们能够将 O(log lst[i]) 中的每个列表元素因式分解。然后，我们需要一个额外的步骤来生成除数（在我们的条件下，我们可以再次将其数量视为常数）并执行与第一个类似的遍历。如果n 非常大，此方法可能会有所帮助，以便尽管有额外的m log m 成本仍然受益。