快速近似浮点除法答案

【问题标题】：Fast approximate float division快速近似浮点除法
【发布时间】：2015-06-24 15:50:45
【问题描述】：

在现代处理器上，浮点除法比浮点乘法慢一个数量级（以倒数吞吐量衡量）。

我想知道是否有任何算法可以计算x/y 的快速近似值，给定某些假设和容差水平。例如，如果您假设0<x<y，并且愿意接受任何在真值 10% 以内的输出，那么是否有比内置 FDIV 操作更快的算法？

【问题讨论】：

您是否考虑过改变算法的结构以避免除法，而是尝试找到更快的除法技术？
每除法 10% 的误差在重用时会导致指数级误差，值得吗？可能不会
这纯粹是为了求知欲，没有计划的应用。
x * 1/y 如果可以预先计算倒数，则更快。
this 的重复项？嗯，我不知道它是否更快。有点意思。

【解决方案1】：

我希望这会有所帮助，因为这可能与您要查找的内容一样接近。

__inline__ double __attribute__((const)) divide( double y, double x ) {
                                    // calculates y/x
    union {
        double dbl;
        unsigned long long ull;
    } u;
    u.dbl = x;                      // x = x
    u.ull = ( 0xbfcdd6a18f6a6f52ULL - u.ull ) >> (unsigned char)1;
                                    // pow( x, -0.5 )
    u.dbl *= u.dbl;                 // pow( pow(x,-0.5), 2 ) = pow( x, -1 ) = 1.0/x
    return u.dbl * y;               // (1.0/x) * y = y/x
}

另见：
Another post about reciprocal approximation.
The Wikipedia page.

【讨论】：

【解决方案2】：

FDIV 通常异常比 FMUL 慢，只是 b/c 它不能像乘法一样通过管道传输，并且需要多个 clk 周期来进行迭代收敛硬件搜索过程。

最简单的方法是简单地认识到除法只不过是被除数y 和除数的倒数x 的乘积。不那么直接的部分是记住浮点值x = m * 2 ^ e 及其倒数x^-1 = (1/m)*2^(-e) = (2/m)*2^(-e-1) = p * 2^q 近似于这个新的尾数p = 2/m = 3-x, for 1<=m<2。这给出了反函数的粗略分段线性逼近，但是我们可以通过使用迭代牛顿求根方法来改进该逼近，从而做得更好。

让w = f(x) = 1/x，这个函数f(x) 的逆函数是通过根据w 或x = f^(-1)(w) = 1/w 求解x 得到的。为了提高求根方法的输出，我们必须首先创建一个函数，其零反映了所需的输出，即g(w) = 1/w - x, d/dw(g(w)) = -1/w^2。

w[n+1]= w[n] - g(w[n])/g'(w[n]) = w[n] + w[n]^2 * (1/w[n] - x) = w[n] * (2 - x*w[n])

w[n+1] = w[n] * (2 - x*w[n]), when w[n]=1/x, w[n+1]=1/x*(2-x*1/x)=1/x

然后将这些组件相加得到最后一段代码：

float inv_fast(float x) {
    union { float f; int i; } v;
    float w, sx;
    int m;

    sx = (x < 0) ? -1:1;
    x = sx * x;

    v.i = (int)(0x7EF127EA - *(uint32_t *)&x);
    w = x * v.f;

    // Efficient Iterative Approximation Improvement in horner polynomial form.
    v.f = v.f * (2 - w);     // Single iteration, Err = -3.36e-3 * 2^(-flr(log2(x)))
    // v.f = v.f * ( 4 + w * (-6 + w * (4 - w)));  // Second iteration, Err = -1.13e-5 * 2^(-flr(log2(x)))
    // v.f = v.f * (8 + w * (-28 + w * (56 + w * (-70 + w *(56 + w * (-28 + w * (8 - w)))))));  // Third Iteration, Err = +-6.8e-8 *  2^(-flr(log2(x)))

    return v.f * sx;
}

【讨论】：