作为完全平方和的不同素数的乘积

Question

给定：k个不同的素数说a1，a2，.....，ak

目标：将给定素数的乘积写成完全平方和所需的最少完全平方数。

例子：

k = 2, a1 = 3, a2 = 5 a1*a2 = 15 = 9 + 4 + 1 + 1 即 4 个完全平方和

k = 3, a1 = 2, a2 = 5, a3 = 11 a1*a2*a3 = 110 = 100 + 9 + 1 即 3 个完美平方和

我的算法

让p = a1*a2*...........*ak

counter = 0
while p != 0:
    find the largest perfect square <= p say z
    p = p-z
    counter = counter + 1
return counter

我已经测试了几个例子。在我看来，这似乎是正确的。但是根据少数例子来概括是不正确的。如何证明这一点（如果算法正确）？

Answer 1

解决方案对吗？

实际上，在这些情况下，您的解决方案是错误的：

• k = 1, a1 = 61 => Your result: 61 = 49 + 9 + 1 + 1 + 1 / Best Result: 61 = 36 + 25
• k = 2, a1 = 2, a2 = 37 => Your result: 74 = 64 + 9 + 1 / Best Result: 74 = 49 + 25

使用勒让德三平方定理的解决方案

Legendre's Three-square Theorem是所有自然数n，除了n是4^a (8b + 7)的形式，可以表示三个平方和。
还有Lagrange's Four-square Theorem，所有自然数都可以表示四平方和。

所以算法是：

1. 计算n是否为4^a (8b + 7)的形式。您可以使用素数分解。如果是，答案是 4。
2. 计算 n 是否为平方数。如果是，答案是 1。
3. 计算 n 是否可以表示两个正方形。如果是，答案是 2。
4. 如果 1-3 全部为假，则答案为 3。

您可以对O(sqrt(n)) 进行操作1，对O(log(n)) 进行操作2，对O(sqrt(n) * log(n)) 进行操作3，因此总体时间复杂度为O(sqrt(n) * log(n))。

编辑： 由于 n 是一个不同的素数积，所以没有出现平方数，那么情况 2 也没有出现。 如果 n mod 8 = 7，则出现案例 1。