两个单独的嵌套 while 循环的时间复杂度

Question

我刚开始我的数据结构课程，但在尝试计算以下代码中的时间复杂度时遇到了麻烦：

{
  int j, y; 
  for(j = n; j >= 1; j--)
  { 
     y = 1; 
     while (y < j)
       y *= 2;
     while (y > 2) 
     y = sqrt(y); 
} 

每次运行代码时，外部“for”循环都会运行 n 次，如果我没记错的话，第一个“while”循环会运行大约 log2(j)。
我不确定第二个“while”循环以及如何确定代码的整体时间复杂度。
我最初的想法是确定在“for”循环的每次迭代中哪个“while”循环会“花费”更多，只考虑两者中较高的一个并将其总结，但显然它并没有让我得到答案。

希望能提供任何帮助，尤其是在尝试计算诸如此类代码的复杂性的过程和总体方法方面。

Answer 1

你说得对，第一个 while 循环的时间复杂度是 O(log(j))。第二个 while 循环重复对 y 执行平方根，直到它小于 2。

因为y 大约是j（它介于j 和2j 之间），所以问题是：你多久可以对j 进行一次平方根运算，直到你得到一个小于或等于的数字2？但同样你可以问：在得到大于或等于j 的数字之前，你多久可以平方 2？或者作为一个方程式：

    (((2^2)^...)^2 >= j    // k repeated squares
<=>        2^(2^k) >= j
<=>              k >= log(log(j))

所以第二个while循环的时间复杂度为O(log(log(j))。与O(log(j)) 相比，这可以忽略不计。现在由于j <= n 并且循环被迭代n 次，我们得到了整体复杂度O(n log(n))。