这个 Splay Tree range sum 有没有更快的实现？

Question

我编写了一个展开树。节点是这样表示的。

struct Node{
    Node *l;  /// The left  Node
    Node *r;  /// The right Node
    int v;    /// The Value
};

现在，我需要知道特定范围内树中所有数字的总和。为此，我实现了以下名为summation.的函数

void summation(Node *R, int st, int ed)
{
    if(!R) return;
    if(R->v < st){        /// should not call left side
        summation(R->r, st, ed);
    }
    else if(R->v > ed){   /// should not call right side
        summation(R->l, st, ed);
    }
    else{                /// should call both side
        ret+=R->v;
        summation(R->l, st, ed);
        summation(R->r, st, ed);
    }
    return;
}

ret 是一个全局的int 变量，在调用summation 函数之前初始化为0。 st & ed 这两个参数定义了范围（包括）。

summation 函数的工作复杂度为 O(n)。任何人都可以为此建议更快的实现吗？

Answer 1

这是我前段时间做的展开树实现，并针对 SPOJ 评估系统（用 C++ 编写）进行了测试：

https://ideone.com/aQgEpF

此树实现支持您所要求的（O(log(n)) 中的范围总和。

这里的关键思想是使用拆分和合并，提取覆盖范围的子树。此外，每个节点都包含一个字段sum，它是其子树中所有键的总和。 sum 字段是惰性求值的，并且仅在拆分操作期间（沿拆分线）进行中继，这样就不会深入到不需要计算的级别。

Answer 2

首先，作为旁注，summation 不返回任何内容，而是操作全局变量，是probably not such a great idea。您可能应该考虑省略这个全局变量，并让递归函数只返回它找到的值（并在返回这个总和之前，调用对其进一步递归调用返回的值进行求和）。

关于您的具体问题，您可以通过augmenting node metadata 优化求和运算。这将降低求和运算的增长顺序，而不会影响其他运算的增长顺序。不利的一面是，这会在一定程度上降低其他操作的速度。由您决定这种权衡是否适合您。

基本思路如下：

1. 在每个节点中保留另一个字段，指示以该节点为根的树中项目的总和。

2. 经过一番思考，您可以了解如何在更新树时有效地更新此信息。

3. 进一步思考，您可以了解如何使用此元数据回答范围查询。