查找 AVL 树的中位数

Question

我搜索了一下，找到了一个相关的帖子：Get median from AVL tree? 但我对反应不太满意。

我对解决这个问题的想法：

• 如果余额因子为0，则返回root
• 否则继续移除根直到树完全平衡，然后计算刚刚移除的根的中位数

假设 AVL 树将保持平衡（根据定义？） 我已经看到一些建议按顺序遍历并找到中位数的答案，但我认为这需要更多的空间和时间。

有人可以确认或更正我的想法吗？谢谢！

Answer 1

您建议的方法存在两个问题：

• 您在此过程中破坏了您的树（或为“备份”副本占用了两倍的内存）
• 在最坏的情况下，您需要大量的根删除才能获得完全平衡的树（我认为在最坏的情况下，它会接近 2^(n-1)-1 删除）...而且您仍然需要从中计算中位数。

您的链接问题中的答案是正确且最佳的。解决这个问题的常用方法是构造一个Order statistic tree（通过保存每个节点的左右子树的元素数量）。请注意，如果发生 AVL 树的旋转，您必须相应地补偿这些数字。

请参阅 IVlad 的回答 here。由于 AVL 树保证了O(log n) Search 操作并且IVlad 的算法本质上是一个Search 操作，因此您可以在O(log n) 时间内找到k-th 最小的元素和O(1) 空间（不包括树本身的空间）。

假设您的树从 0 开始索引并且具有 n 元素，请按以下方式找到中位数：

• 如果n 是奇数：找到(n-1)/2-th 元素并返回它
• 如果n 是偶数：找到n/2-th 和(n/2)-1 元素并返回它们的平均值

此外，如果无法更改树（左/右元素计数），请参阅您链接到的答案的第二部分。