检索 Python 集合的下一个最小元素

Question

Sieve of Eratosthenes 是一种相当快的生成素数的方法，其上限为k，如下所示：

1. 从p = (2, 3, 4, ..., k) 和i = 2 集合开始。
2. 从i^2 开始，从p 中删除所有i 的倍数。
3. 在p 中重复下一个最小的i，直到i >= sqrt(k)。

我当前的实现是这样的（预过滤所有偶数的明显优化）：

# Compute all prime numbers less than k using the Sieve of Eratosthenes
def sieve(k):
    s = set(range(3, k, 2))
    s.add(2)

    for i in range(3, int(sqrt(k)), 2):
        if i in s:
            for j in range(i ** 2, k, i * 2):
                s.discard(j)

    return sorted(s)

编辑：这是基于 list 的等效代码：

def sieve_list(k):
    s = [True] * k
    s[0] = s[1] = False
    for i in range(4, k, 2):
        s[i] = False

    for i in range(3, int(sqrt(k)) + 2, 2):
        if s[i]:            
            for j in range(i ** 2, k, i * 2):
                s[j] = False

    return [2] + [ i for i in range(3, k, 2) if s[i] ]

这可行，但并不完全正确。行：

for i in range(3, int(sqrt(k)), 2):
    if i in s:
        [...]

通过测试每个奇数的集合成员关系，找到s 的下一个最小元素。理想情况下，实现实际上应该是：

while i < sqrt(k):
    [...]
    i = next smallest element in s

但是，由于set 是无序的，我不知道如何（或者即使可能）以更有效的方式获取下一个最小元素。我考虑过使用list 和True/False 标志作为素数，但您仍然需要通过list 寻找下一个True 元素。您也不能直接从 list 中删除元素，因为这使得在第 2 步中有效地删除复合数字变得不可能。

有没有办法更有效地找到下一个最小的元素？如果没有，是否有其他一些数据结构允许 O(1) 按值删除以及找到下一个最小元素的有效方法？

Answer 1

集合是无序的，因为它们在内部实现为哈希集。在这样的数据结构中没有找到最小元素的有效方法； min(s) 将是最 Pythonic 的方式（但它是 O(n)）。

您可以使用collections.deque 以及您的设置。使用deque 按排序顺序存储元素列表。每次您需要获得最小值时，从deque 中弹出元素，直到找到您的集合中的元素。这已经在整个输入数组中摊销了 O(1) 成本（因为您只需弹出 n 次）。

我还应该指出，no 数据结构可能有从列表创建 O(n)（或 O(1) 插入）、O(1) 按值删除和 O (1) 最小发现；这样的数据结构可以用来简单地实现 O(n) 的一般排序，这是（信息论的）不可能的。哈希集非常接近，但必须牺牲有效的最小值查找。

Answer 2

您可以使用列表来代替集合。使用 None 初始化列表以表示未标记。您可以使用元素索引作为数字。

1. 初始化列表
2. 从 p = 2 开始
3. 用'M'标记列表中p的所有倍数
4. 在列表中找到下一个未标记的元素并将其设为新的p。如果没有，你就完成了。

如果您需要找到下一个未标记的索引，您可以简单地查看索引 p 之后的元素并且等于 None。