集合的每个子集的最小和最大元素的 OR 和

Question

给定一个集合 S，对于它的每个非空子集，找到最小和最大元素并取它们的逻辑 OR。在所有此类子集中找到这些 OR 的总和。

例如：S = {1, 2, 3}，然后是子集

{1} 最小=1 最大=1 OR=1

{2} 最小=2 最大=2 OR=2

{3} 最小=3 最大=3 OR=3

{1, 2} 最小=1 最大=2 OR=3

{2, 3} 最小=2 最大=3 OR=3

{1, 3} 最小=1 最大=3 OR=3

{1, 2, 3} 最小=1 最大=3 OR=3

答案是 18。

我已阅读 How to find Sum of differences of maximum and minimum of all possible subset of an array，但无法在此处使用该逻辑。

Answer 1

算法

• 对输入数据进行排序
• 从i = 0 to n循环，其中n是输入的长度，j = i to n，由于输入是排序的，input[i]是最小的，input[j]是[i,j]范围内最大的
• 现在我们知道input[i] 是最低的，input[j] 是最大的，我们还知道数组的中间元素有j - i -1，它们的组合将产生相同的最小值和最大值，因此我们将OR 的低位和高位，以及这些中间数字可能的排列总数。
• 例如。对于input = [1, 2, 3, 4] 和i = 0 和j = 3，即lowest = 1 和largest = 4，我们知道元素[2, 3] 可以出现在子集中，而不会更改最小值和最大值。 [1, 2, 4], [1, 3, 4], [1, 2, 3, 4] 都是有效的。与中间元素可能的组合数量为2 ^ (count of middle elements)。
• 对所有最小和最大对重复此操作。

这是 C++ 中的代码。

#include <iostream>

int main() {
    vector<int> input {3, 2, 1};
    sort(input.begin(), input.end());
    int answer = 0;
    for(int i=0; i < input.size(); ++i)
    {
        for(int j=i; j < input.size(); ++j)
        {
            int elements = (j - i) - 1;
            int multiple = elements > 0 ? pow(2, elements) : 1;
            answer += ((input[i] | input[j]) * multiple);
            cout << input[i] << ' ' << input[j] << ' ' << answer << endl;
        }
        cout << endl;
    }
    cout <<  answer <<endl;
}