使用合并 2 个已排序列表的概念合并 k 个已排序链表的时间复杂度是多少？

Question

如果我使用合并2个排序链表的算法，我想知道merging k sorted lists的真实时间复杂度。

我在某处看到时间复杂度为 O(nk)，某处为 O(nk^2)。 （k 是排序列表的数量，n 是列表中元素的数量）。 所以我对这个问题的时间复杂度感到困惑。

请告诉我这个问题的真实时间复杂度。

Answer 1

如果我使用合并 2 个已排序链表的算法，我想知道合并 ? 已排序列表的真实时间复杂度。

有多种算法可供选择。

我们将?定义为一个排序列表中值的（最大）个数，因此值的总数以??为界。 ? 的明确定义很重要，因为有些人会将其定义为所有列表中值的 total 数量 - 这显然会导致不同的公式。我将值的总数定义为?。所以?=??

朴素算法

此算法合并前两个列表，然后将结果与第三个列表合并，然后将结果与第四个列表合并，......等等。

该算法需要执行 ?−1 次合并，每次合并将比前一次合并 ? 更多的项目。第一次合并涉及两个?元素列表，所以它是 O(2?)

因此我们有以下关系?：

      ?(2) = O(2?)
?(?) = ?(?−1) + O(??)

所以：

      ?(?) = O(?∑_?=2..??) = O(??²) = O(??)

最后一步使用triangular numbers的公式

分而治之算法

（二进制）分治算法定义了当您只有 2 个列表时的基本情况，并将它们与已知算法合并。在所有其他情况下，它会合并来自递归的两个列表。这确实是merge sort 使用的原理。

现在递归关系如下：

      ?(2) = O(2?)
?(?) = 2?(?/2) + O(??)

如果我们将这个关系展开一次，我们得到：

     ?(?) = 2(2?(?/4) + O(??/2)) + O(??) = 4?(?/4) + O(??) + O(??)

如果再次展开：

      ?(?) = 8T(?/8) + O(3??)

log₂? - 1 次扩展后：

      ?(?) = (?/2)?(2) + O(??log?)

代入?(2)，我们得到：

      ?(?) = O(??) + O(??log?) = O(??log?) = O(?log?)

基于堆的算法

当您创建一个二进制最小堆时，其中每个条目都是一个链表，由其第一个节点的值作为键，然后您可以重复从堆中提取具有最小元素的列表，从该列表中提取该元素，然后将该列表再次插入堆中，它将根据其新键找到它的位置（因为它现在少了一个节点）。如果列表变为空，则不再将其插入堆中。

构建堆的成本为 O(?)。一个堆提取和插入的成本为 O(log?)。有 ?? 提取要做，所以复杂度是 O(?) + O(??log?) = O(??log?) = O(?log?)