问题：给定一个可以包含重复项的正整数数组，找到通过连接整数获得的最小数。例如：[3, 32, 321] 返回321323
除了尝试所有 n!串联排列，我似乎找不到解决这个问题的好方法。我知道下面有一个很好的解决方案，但我无法理解为什么它是正确的（如果你想尝试解决这个问题，请停止阅读这里）：
我阅读了一个解决方案，我们可以使用比较器对数组进行排序，该比较器通过比较串联 mn 和串联 nm 的数值来比较两个数字 m 和 n，以及排序数组将是给出最小数字的串联，但我不知道为什么这是真的。有什么想法吗？
【问题讨论】：
标签： performance algorithm sorting data-structures concatenation
您可以使用类似于冒泡排序的方法来解决这个问题。
首先，我们注意到最终结果的长度是固定的。
其次，结果是你可以创建的最小的字典序字符串（因为所有可能的字符串的长度都是固定的，所以最小的字典序也是最小的个数）。
假设我们有两个数字n和m，如果nm
所以我们继续交换号码，直到没有东西可以交换，这就是最终的答案
【讨论】：
...中的所有元素也应该遵守规则，所以我们有最终的结果......仍然需要改进:)
这更像是一个数学问题而不是计算机问题。
定义串联操作为C(a1, ... an)，其中(a1, ... an)是一个有序数组。那么C就满足了
C(a1, ... an) = C( C(a1, ... ax), C(a(x + 1), ... an) )
对于任何 1
使用数学归纳法，将 F 定义为处理 n 个变量数组的函数。
F(2) = min(C(a1, a2), C(a2, a1)) 定义明确。
对于 F(n)，给定 F(n - 1) 被最小化，问题就变成了寻找最佳位置以使 F(n) 最小化。那么就很容易证明了
对于 C(ax, an) > C(an, ax), C(a1, ... ax, an, a(x+1), ... a(n - 1) 的任何 ax ))
对于 C(ax, an) C(a1, ... a(x - 1), an, ax, a(x+1), ... a(n - 1))。
所以最好的解决方案是在 C(ax, an) C(an, a(x + 1)) 处插入 an。因此，您描述的算法成立。
【讨论】：
如果它们都是单个数字，解决方案很简单：对它们进行排序并为结果中最重要的数字（最左边的数字）选择最小的数字。例如在 3 之前选择 2，因为 23 小于 32。
类似的多位数字，按最左边的数字排序。例如在 45 之前选择 123，因为 12345 小于 45123。
最棘手的部分是领带。如果最左边的数字相同，则比较第二个数字，然后是第三个数字......例如在 34 之前选择 321，因为 32134 小于 34321。
最后，如果出现平局而您的数字用完了怎么办？在 3 之前选择 321，因为 3213 小于 3321。
因此，使用 Java 作为一门语言，使用这些规则编写一个比较器（请注意，您可能最好将数字视为字符串，而不是数字），排序，然后连接。其他语言也类似。
比较器的 Java 代码： See also Gist with a main() for testing 请注意，我能够重组和简化规则。这段代码可能可以更好地优化速度。 （注意：假设所有的 int 都首先转换为 Strings 以提高效率）
public class SO25396760 implements Comparator<String> {
@Override
public int compare(String s1, String s2) {
int minLength = Math.min(s1.length(), s2.length());
int result = s1.substring(0, minLength).compareTo(s2.substring(0, minLength));
if (result != 0)
return result;
int lenDiff = s1.length() - s2.length();
if (lenDiff == 0)
return 0; // Strings are equal
if (lenDiff < 0)
return compare(s1, s2.substring(minLength));
else
return compare(s1.substring(minLength), s2);
}
}
当输入为 {"321","3","35", "321334", "333", "2"};排序后的数组是 [2, 321, 321334, 3, 333, 35] 并且连接的值为 2321321334333335。通过检查测试这是最小的。
【讨论】：
让<' 成为有问题的比较器，这样m <' n 当且仅当
mn < nm。 假设<' 是strict weak
ordering，
关于为什么按<' 排序的其他答案是正确的
好主意。这是一个仔细的证明。假设相反，两个
（可能不相邻的）输入字符串m <' n 乱序，因此
输出看起来像
...n...p...m...
通过归纳n 和m 之间的距离，我们证明了
输出不是最小的。在基本情况下，当n 与m 相邻时，我们
可以交换它们。由于mn < nm，新的输出更小。归纳地，
让p 成为出现在n 和m 之间的输出中的输入字符串。
如果p <' m，那么p <' n 通过传递性。如果p <' n，那么我们调用
n 和 p 的归纳假设，它们比 n 和
m。如果n <' p，那么m <' p 通过传递性。如果m <' p，那么我们
在p 和m 上调用归纳假设，它们比
n 和 m。如果这些情况都不适用，那么 n 和 p 是
无与伦比，p 和 m 是无与伦比的。通过传递性
不可比性，n 和 m 是不可比的，这与
事实上n <' m，所以前面四种情况之一适用。
因此确定了最小输出中输入字符串的顺序
最多置换等价块内的等价字符串。自从
m 等价于 n 意味着 mn = nm，我们得到相同的输出
不管排列如何，因此这个输出是最小的。
对我来说，正确性证明中有趣的部分是证明<'
首先是严格的弱排序。事实上，除非
我们排除了会造成严重破坏的空字符串。对于所有非空
字符串m，设key(m)为由m组成的无限字符串
经常无限重复。表明<' 是严格的弱排序
在非空字符串上，足以证明 m <' n 当且仅当
key(m) < key(n).
首先假设m <' n。然后mn < nm。以|m| 为长度
m，我们有 (m^|n|)(n^|m|) < (n^|m|)(m^|n|) 重复
不等式mn < nm 的应用。自从
|m^|n|| = |m||n| = |n^|m||，我们得出结论m^|n| < n^|m|，因此
那个key(m) < key(n)。
现在假设m <' n 不成立。如果nm < mn，那么我们认为
在此之前key(n) < key(m) 因此key(m) < key(n) 没有
抓住。否则，mn = nm。由于(m^|n|)(n^|m|) = (n^|m|)(m^|n|)，我们
得出结论m^|n| = n^|m|，因此得出key(m) = key(n)。
【讨论】：