图灵机计算2个二进制数之和

Question

如何构建图灵机来计算给定 X$Y* 输入的 2 个二进制数的总和？

例如，假设X = 3 和Y = 5。机器的输入将是#011$101*#。最后的状态应该是#1000#。

我们可以假设X 和Y 具有相同的位长度。

Answer 1

您需要实现full adder。这个问题可能是家庭作业，所以我将提供一个高级概述。图灵机M 具有特殊状态Q(xyc)，其中x,y ∈ {0,1,U} 和c ∈ {0,1}。状态Q(xyc)表示X的第i^th位为x，Y的第i^th位为y，进位为c。符号U 表示相关输入的第 i^th 位未知。 Q(Uyc) 的状态 y ∈ {0,1} 是无效的，因为如果 Y 的第 i 位已知，X 的第 i^th 位是已知的。算法是这样的：

1. M的初始状态是Q(UU0)。
2. 假设正在添加X 和Y 的第i^th 位，并且进位为c。然后M 处于状态Q(UUc)。如果i 大于X 和Y 中的位数，则转到步骤（6）。由于最低有效输入位在步骤 (3) 和 (4) 中被覆盖，因此这种情况很容易检测到。
3. 找到X 的最低有效位x，用$ 覆盖x 并转换到状态Q(xUc)。
4. 找到Y 的最低有效位y，用* 覆盖y 并转换到状态Q(xyc)。
5. 在磁带末尾写入适当的总和，转换到状态Q(UUd)，其中d 是新进位，然后转到步骤(2)。这些值由上述链接中的真值表给出。
6. 如果是c = 1，请在磁带末尾写上c。
7. 将计算值的反面复制到磁带的开头。清除剩余的磁带。

请注意，输出是以相反的顺序构造的，因此必须在步骤 (7) 中反转。剩下的工作包括写入状态和用于遍历/操作磁带的转换。