多个圆形成的相交区域数

Question

我们有四个参数来绘制一些圆圈：

1. 圆心（x_1 和 x_2），都位于 x 轴上

2. 最大半径(k_1 and k_2) 这就是我们使用这个信息的方式：第一组圆中心位于x_1，我们从这里绘制k_1个不同半径的圆，从1到k_1：(1<= r_1 <= k_1)所以第一个圆的半径为1并居中在 x_1 ，第二个的半径为 2 ...第二组圆也适用相同的条件。最后，有些圆可能会或可能不会相互交叉。我想要的是总数最后制作的区域。我认为，如果我了解将两个区域分开的原因，则主要解决了问题。为了清楚起见，这里有一些示例（请注意，所有参数都在：[1,10^5] 范围内）：

   for:x_1 = 1,k_1 = 1,x_2 = 0,k_2 = 1 => n = 3
for: x_1 = 0,k_1 = 1,x_2 = 2,k_2 = 1 => n = 2
for:x_1 = 3,k_1 = 3,x_2 = 7,k_2 = 4 => n =16

Answer 1

我想出了以下解决方案。

正如您所写，我们有两组圆圈。一个集合的中心是x_1，另一个集合的中心是x_2 我们将集合分别表示为L 和R，其中

L = 以x_1 为中心的圆的集合和 R = 圆心为x_2 和x_1 <= x_2 的圆集。

现在算法步骤：

1. 首先检查L和R（x_1和x_2）的中心是否相等。如果相等，则这两个集合是同心的。所以答案是k_1和k_2的最大值。

2. 我们必须确保x_1 <= x_2。如果x_1 > x_2，则交换（x_1，x_2）。

3. 首先在这个算法中，我们将计算集合L 的每个圆圈中的区域数。然后我们将计算集合R 中那些在x_1 + k_1 之外的区域计数。因此，为了保持良好状态，我们需要 交换k_1 和k_2，当且仅当k_1 < k_2 相遇。

4. 现在x_1 <= x_2 为真，我们将计算集合L 中每个圆圈内的所有区域。然后遍历从x_1 + 1到x_1 + k_1的所有位置，并执行以下操作，并尝试从图中捕捉不同情况下区域计数的计算：

特殊情况：

5. 我们仍然需要检查另一件事。将R 集合中的区域计数添加到x_1 + k_1 之外。

   • 如果 x_1 + k_1 dif = (x_2 + k_2) - (x_1 + k_1) 和 result = result + min(k_2, dif)

这是我的c++ 实现：

#include <iostream>
using namespace std;

int intersection_count(int x_1, int k_1, int x_2, int k_2) {
    if (x_1 == x_2)
        return max(k_1, k_2);

    if (x_1 > x_2) {
        swap(x_1, x_2);
    }
    if (k_1 < k_2) {
        swap(k_1, k_2);
    }

    int result = 0;
    for (int i = 1; i <= k_1; i++) {
        int pos = x_1 + i;
        int rev_pos = x_1 - i;
        if (pos <= x_2 - k_2) {
            result++;
        }
        else if (pos <= x_2) {
            int dif = pos - (x_2 - k_2);

            // check if the ith circle is cmpletely inside range [x_2 - k_2, x_2 + k_2]
            dif -= (rev_pos < x_2 - k_2) ? 0 : (rev_pos - (x_2 - k_2) + 1);

            result += 2*dif;
        }
        else if (pos <= x_2 + k_2) {
            int dif = (x_2 + k_2) - pos + 1;

            // check if the ith circle is cmpletely inside range [x_2 - k_2, x_2 + k_2]
            dif -= (rev_pos < x_2 - k_2) ? 0 : (rev_pos - (x_2 - k_2) + 1);

            result += 2*dif;
        }
        else {
            result++;
        }
    }
    if (x_1 + k_1 <= x_2 + k_2) {
        int dif = (x_2 + k_2) - (x_1 + k_1);
        result += min(k_2, dif);
    }

    return result;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    cout << intersection_count(1, 1, 0, 1) << endl;
    cout << intersection_count(0, 1, 2, 1) << endl;
    cout << intersection_count(3, 3, 7, 4) << endl;
    cout << intersection_count(0, 1, 0, 2) << endl;
    cout << intersection_count(2, 1, 3, 2) << endl;
    cout << intersection_count(2, 1, 3, 3) << endl;
    cout << intersection_count(3, 4, 5, 3) << endl;
    cout << intersection_count(0, 7, 2, 7) << endl;

    return 0;
}