证明一组点中最远的点（在二维平面上）应该位于凸包上答案

【问题标题】：Prove that the farthest point among a set of points(in 2-d plane) should lie on the convex hull证明一组点中最远的点（在二维平面上）应该位于凸包上
【发布时间】：2013-08-14 11:16:24
【问题描述】：

问题不言自明。需要证明给定一组二维点，相距最远的一对点必须位于凸包上。

【问题讨论】：

如果在点 P 的集合中存在另一个点 B 且 P 中的所有点都在线 AB 的同一侧，则点 A 位于凸包上。
更好的是：如果存在一条穿过它的线且 P 中的所有点都在同一侧，则点 A 位于凸包上。
对于一组中相距最远的两个点 A 和 B，您可以证明这对于通过 A 和 B 垂直于 A 和 B 的线成立。
不过，我不确定这个问题是否属于这里。
@jgroenen 嗯....好吧，这有帮助。将其作为答案，以便我接受。

标签： algorithm graph convex-hull

【解决方案1】：

一个点 A 位于凸包上，如果存在一条穿过它的线，并且您的一组点中的所有点都在该线的同一侧。对于集合中相距最远的两个点，A 和 B，您可以证明这适用于垂直于 A 的线和 B，通过 A 和 B。

【讨论】：

【解决方案2】：

在上面的答案中添加更多细节。

声明 1：y 坐标最小的点 (P) 将始终位于一组 N 个点的凸包上。

证明：假设 y 坐标最小的点 (P) 严格位于凸包内。那么凸包上就会存在一个点（Q），使得 Qy

权利要求 2：当且仅当存在一条通过该点的线且该点集合中的所有点都在该线的同一侧时，点 A 才在凸包上。

证明：（仅当条件）考虑具有最小 y 坐标的点 P。根据权利要求 1，点 P 位于凸包上，且通过 P 的平行于 x 轴的线满足集合 S 的所有其他点位于其上方的标准。现在对于凸包上的任何其他点（P'），我们可以旋转坐标轴，使 P' 具有最小 y 坐标。

(If 条件) 设点 P 使得存在一条线 (L) 集合中的所有点都在一侧。以 L 的斜率为零的方式旋转坐标轴，从而使 P 成为 y 坐标最小的点。现在用Claim 1来证明它确实是凸包上的一个点。

Claim 2 现在可以用来证明最远的对确实位于前面的答案中提到的凸包上。

【讨论】：