计算朝向给定侧的线的法线答案

【问题标题】：Calculating normal to line towards given side计算朝向给定侧的线的法线
【发布时间】：2015-02-22 23:54:49
【问题描述】：

Given 是一条线（段），由两个向量 start(x,y) 和 end(x,y) 定义。我还有一个点p(x,y)，它位于由线隔开的两个区域中的任何一个上（即它不正好在线上）。

如何计算朝向p 所在一侧的线的法线？

【问题讨论】：

你想要p到直线的最小距离吗？

【解决方案1】：

让：

A = (a,b) and B = (c,d) define the line segment
P = (p,q) be the other point.

定义：

dot( (p,q), (r,s) ) == p*r + q*s

然后是向量：

v = ( c-a, d-b)

定义沿线段的方向。它的垂线是：

u = (d-b, (-(c-a)) = (d-b,a-c)

这可以通过使用v 的点积来看出。要从垂线得到法线，只需除以其长度即可：

n = u /|u|, |u| = sqrt( dot(u,u))

我们现在只需要知道P 相对于法线的位置。如果我们采取：

dir = dot( (P-A), n) )

那么dir > 0 表示n 与P 方向相同，而dir < 0 表示方向相反。应该dir == 0，那么P其实就在延长线上（不一定是线段本身）。

【讨论】：

【解决方案2】：

首先，通过取end-start 和p-end 的叉积来确定点位于直线的哪一侧：

z = (x_end-x_start)(y_p-y_end) - (y _end-y_start)(x_p-x_end)

如果 z>0，则该点位于线的左侧（如站在 start 并面向 end 的人所见）。如果 z

二、对线段进行归一化：

S = 结束 - 开始
k = S/ |S|

最后，如果点在直线的左边，则向左旋转k：

(x_k, y_k) => (-y_k, x_k)

或者如果点在直线的右边，则向右旋转k：

(x_k, y_k) => (y_k, -x_k)

【讨论】：

【解决方案3】：

我的数学技能有点生疏，所以我不能给你确切的计算，但你做的是这个（假设你的描述是二维的）：

首先计算一个正常的 n。
然后计算 P'，它是点 P 在直线上的垂直投影。基本上，您所做的是，您“创建”另一条线并使用步骤 1 中的向量 n 作为方向（y = p + x * n 其中 y,p 和 n 是向量，p 实际上是您的 p(x,y) 而 x 是一个实数），然后你将这条线与第一条线相交，它们相交的点是 P'。
看到你来自奥地利，请大家原谅我用了一个德语单词，我真的不知道英文翻译也找不到。 P' = Lotfußpunkt
计算 P - P'。如果它在两个分量中都与 n 具有相同的符号，则 n 是您要搜索的法线。如果它有相反的符号，-n 就是你要搜索的那个。

我希望这个想法是清楚的，即使我不知道所有的英文技术术语。

【讨论】：

您能否详细说明第 2 步？谢谢。
刚刚更新了我的答案，希望它更清楚。除了第 3 步，您还可以求解第 2 步中的方程 x，如果 x 为负数，n 是您的答案，但是如果 x 是正数，-n 是您的答案。

【解决方案4】：

对于开始 = (a,b) 结束 = (c,d) p = (x,y)

坡度（起点）= (d - b) / (c - a)

斜率(标准) = -(c - a) / (d - b)

范数线必须包含 p = (x,y)，所以

ynorm = -((c - a) / (d - b)) * xnorm + (y + ((c - a) / (d - b)) * x)

【讨论】：

你最后一行xnorm的值是多少？
ynorm 和 xnorm 是法线方程中的变量

【解决方案5】：

y = mx + c

是法线方程，其中 m 是斜率，c 是任意常数。

你有开始和结束。让我们称它们为 (x1,y1) 和 (x2,y2) 以及连接它们的线 L1。这条线的斜率 m1 为 (y2-y1)/(x2-x1)。这条线垂直于您需要的线，我们可以将其称为 L2，斜率为 m2。 2条相互垂直线的斜率的乘积是-1。因此， m1*m2=-1。

因此您可以计算 m2。现在，您需要找到线 L2 的方程。您在 P (x,y) 线上有 1 个点。你可以用这种方式替换： y=m2*x+c。

这会给你c。得到线方程后，可以将其转换为参数形式，如下所示：

http://thejuniverse.org/PUBLIC/LinearAlgebra/LOLA/lines/index.html

【讨论】：

【解决方案6】：

线的方程为

A = start.y-end.y
B = end.x-start.x
C = start.x*end.y-start.y*end.x

A*x + B*y + C = 0

d 到点p=(px,py) 的直线的最小距离是

d = (A*px+B*py+C)/sqrt(A^2+B^2)

如果值为正，则该点从矢量(start->end) 逆时针旋转。如果为负，则为顺时针旋转。因此，如果(start->end) 指向上方，则直线左侧为正距离。

例子

start = (8.04, -0.18)
end = (6.58, 1.72)
P = (2.82, 0.66)
A = (-0.18)-(1.72) = -1.9
B = (6.58)-(8.04) = -1.46
C = (8.04)*(1.72)-(-0.18)*(6.58) = 15.01
d = (A*(2.82)+B*(0.66)+C)/√(A^2+B^2) = 3.63

d 的计算显示与草图中矢量(near->P) 的长度相同。

【讨论】：

【解决方案7】：

N = (Ey - Sy, Sx - Ex) 与直线垂直（SE 旋转了 90°，未归一化）。

然后计算点积的符号

N . SP = (Ey - Sy)(Px - Sx) + (Sx - Ex)(Py - Sy),

它会告诉你法线指向哪一边。

【讨论】：