我的问题是：给定平面上的 N 个点和一个数字 R，列出/枚举所有点的子集，其中每个子集中的点都被一个半径为 R 的圆包围。两个子集应该不同，并且每个子集都不被覆盖其他。
效率可能不重要，但算法不能太慢。
在特殊情况下，我们能找到 K 个点最多的子集吗？可以接受近似算法。
谢谢，
编辑：似乎该声明不清楚理解。我的错！
所以我重申我的问题如下：给定 N 个点和一个半径为 R 的圆，使用该圆扫描整个空间。一次，圆圈将覆盖点的子集。目标是列出可以被这样的 R 半径圆覆盖的所有可能的点子集。一个子集不能是其他子集的超集。
【问题讨论】：
标签： algorithm geometry computational-geometry
我不确定我明白你所说的“未覆盖”是什么意思。如果你放弃这个，你正在寻找的正是一个复杂性很高的 Cech 复合体，如果你没有采样条件，你将不会有有效的算法（采样应该足够稀疏并且 R 不能太大，否则你可以有 2^ n 个子集，n 个你的点数）。您必须枚举所有子集并检查它们的最小封闭球半径是否小于 R。您可以将搜索减少到直径小于 R 的所有子集（例如，成对距离小于 R），这在您的情况下可能就足够了。
如果两个子集的“未涵盖”意味着其中一个不包含在另一个子集中，则您可以进行许多不同的分解。令人感兴趣的是 alpha 复数，因为它可以在 2-3 维的 O(nlogn) 中有效地计算（我建议使用 CGAL 来计算它，您还可以通过图片查看它的含义）。如果您的点是高维的，那么您最终可能会计算 Cech 复形。
【讨论】：
在不失一般性的情况下，我们可以假设所考虑的包围圈通过至少两个点（忽略没有点或一个点的琐碎情况，并假设您的动机是最大化密度，因此您不在乎是否非最大子集被省略）。在输入点上构建邻近结构（kd-tree、cover tree 等）。对于每个输入点 p，使用结构找到所有点 q，使得 d(p, q) ≤ 2R。对于每个点 q，有一个或两个在其边界上包含 p 和 q 的圆。通过求解一些二次方程找到它们的中心，然后在 q 的其他选择中查找来确定子集。
【讨论】：