功能未知时积分？答案

【问题标题】：Integral when function is unknown?功能未知时积分？
【发布时间】：2013-06-17 12:30:50
【问题描述】：

当函数未知时，我正在尝试找到一种使用 python 2.7 计算曲线下面积的方法。只有我拥有的数据是坐标，例如：

0       0
0.000194439     0
0.000388878     0
0.000583317     0
0.000777756     0
0.000972195     0
0.00116663      0
0.00136107      0
0.00155551      0
0.00174995      0
0.00194439      0
0.00213883      0
0.00233327      0
0.00233327      0.00588235
0.00252771      0.00588235 
...............................
.................................

Complete data.

值将始终为正。该函数通常类似于对数函数，但这不能保证。

我可以计算 (x2-x1)*y 等等以获得近似值，但我更喜欢使用积分。

因此我的问题是：
如何在代码中可靠地找出给定坐标的函数？或者没有人可以做到这一点吗？要求后者仅涵盖所有基础，因为我的数学非常生疏

【问题讨论】：

使用最小二乘法（或其他方法）找到与数据集紧密匹配的函数并计算其积分。
@Bakuriu - 这不是一个好主意。找到该函数通常会非常棘手，这将比简单的梯形或辛普森规则提供更好的近似值。你现在又为这个问题增加了一步，这表明数学技能已经有问题的人现在学习了一整套新技能。更好的是简单的梯形或辛普森规则，或集成样条插值等。

标签： python math python-2.7 integral

【解决方案1】：

如何在代码中可靠地找出给定坐标的函数？

你不能。给定一组点，有无数个函数通过所有这些点。其中一个可以使用polynomial of degree up to N 构建（其中 N 是您拥有的数据点的数量）。然而，这个函数几乎永远不会与您试图表示的现实相匹配（它通常最终会在数据点之间剧烈振荡）。一般来说，你能做的最好的就是创建某种积分的近似值。

只要您的采样率足够，您描述的近似值在大多数函数上都不会太差，尽管您可以使用 trapeziodal rule 或 Simpson's Rule 做得更好。

【讨论】：

“但是，这个函数几乎永远不会与你试图表示的现实相匹配”——插值的重点是完美地遍历所有点。该函数将在点外（在第一个点之前和最后一个点之后）剧烈振荡，但会精确地平滑地通过每个点。
原谅我的无知，但是不知道函数的人如何实现辛普森规则？
@Bohren -- 例如见this。
@Tim 函数也可以在点之间疯狂振荡。如果您在 0、1 和 2 处拟合 100e^{-x} 的二次方，则在 0 和 2 之间看起来很好。但如果您在 0、1 和 2 处拟合 100e^{-4x} 的二次方，则抛物线的顶点现在在 (2.5,-11.1) 附近。与此相关的一个更人为但更激烈的示例是查看一个通过 (0,1)、(c,0) 和 (1,0) 的二次方程，因为 c 变小了。你会发现 y=(x-c)(x-1)/c，它的顶点在 ((c+1)/2,-(1-c)^2/4c)，它朝着 (1/2, -无穷大）。