重叠 AABB-Arc 和 AABB-Pie

Question

我正在寻找一种简单的算法来检测 aabb 的面积是否与圆弧（由绳子闭合）或饼图（通过圆心闭合）的面积重叠。

我已经找到了这个答案：Intersection of rectangle and circle (or arc)

但这并不是我想要的，因为我对形状轮廓的交点不感兴趣，只是想知道这些区域是否重叠。

例如，非常小的 AABB 仅包含饼图的中心但 AABB 的边缘不与饼图的圆相交的情况将不会包含在链接答案中。 同样，弧完全包含 AABB 并且 AABB 的侧面甚至不与电源线相交的情况也不会被覆盖。

现在，在我开始重新发明轮子之前，我想问一下是否有用于这种重叠检查的已知算法。

AABB-Sector 的一个例子：

Answer 1

考虑到配置的多样性，这不是一个简单的问题。

您可以通过将带有十字穿过中心的扇形分割为更简单的方法，这样一条水平或垂直的线就不会与圆弧相交两次，并分别处理各个部分。

然后考虑其中一个部分并在“缩小”矩形时“膨胀”它。更准确地说，扇形的每个点都变成了源自它的矩形（左上角），而矩形缩小到其右下角。

您获得的形状（绿色区域）是所谓的 Minkowski 和（又名膨胀）。

如您所见，它有 5 个直边和一个弯曲的边。您可以轻松预测所有扇区方向的形状。

现在如果缩小到一个点的矩形位于这个曲线六边形内，就会有一个交点。您使用极坐标（r < R 和 Θ' < Θ < Θ"）检查该点是否属于该扇区，并通过标准多边形内点测试检查（直）六边形的内部。

类似的推理适用于圆段（弦）。

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这种几何变换允许使用“轨迹”方法，即将解决方案集可视化为几何形状，以支持推理。鉴于域的性质（凸六边形），我们可以得出结论，在最坏的情况下，4 次比较（涉及线性或二次项）足以通过二分法得到答案！

Answer 2

行业和细分领域的情况不同。

对于一个片段：

• Broadphase：如果圆段的 AABB 不相交，则不相交。
• 如果和弦与 AABB 相交（或在其中），则答案是肯定的。这是线段到矩形的测试，我假设你知道怎么做。
• 这仅保留 AABB 在圆段内或与圆弧相交的情况。要做到这一点，至少四个边之一的一部分必须在段内（或者整个段将被包含在内，包括和弦，我们会在上一步中发现）。
• 因此将矩形视为四行，并且对于每一行
  • 通过与圆相交计算圆内的线段
  • 如果存在，则通过与弦比较，检查线的任一端是否位于圆段的内侧。

对于一个扇区，您可以将其视为一个线段加一个三角形，或者：

• 如果圆的 AABB 不相交，则不相交。
• 如果任一径向线相交，则是。
• 否则将矩形视为四个线段，并且对于每个线段：
  • 通过与圆相交计算圆内的线段。
  • 如果存在，则计算位于第一条径向线正确一侧的子段。
  • 如果存在，则计算位于第二条径向线正确一侧的子段。