计算2个圆圈内的总点数答案

【问题标题】：Counting total number of points inside 2 circles计算2个圆圈内的总点数
【发布时间】：2013-03-05 09:10:44
【问题描述】：

有 2 个圆，它们的中心是固定的，将作为输入给出。那么将有n个点，其x和y坐标作为输入给出。

最后会有q个查询。对于每个查询，将给出两个圆的半径（让它们分别为 r1 和 r2）。输出每个查询的第一个圆或第二个圆内的总点数。如果点到圆心的距离小于或等于圆的半径，则该点位于圆内。

约束：n, q

我正在寻找 O(nlogn) 或 O(nlog^2n) 预处理，然后是每个查询的 O(logn) 算法。每个查询的 O(n) 解决方案太慢。任何想法如何破解这个？

【问题讨论】：

创建两个数组，根据点的距离对点进行排序。这需要 O(n log(n)) 进行排序。然后在两个数组中对每个查询进行二进制搜索，以找到相应圆圈中的最后一个点。这需要 O(log(n))。
如果一个点在两个圆圈内，那么它将被计算两次

标签： algorithm data-structures

【解决方案1】：

O(log²N) 查询时间的解决方案。

每个查询更容易计算两个圆圈之外的点，然后从总点数中减去结果。
使用笛卡尔坐标更容易。这样 X 将是与 C1 的距离，Y - 与 C2 的距离。在这种情况下，我们只需要找到X > r1 && Y > r2 区域内的点数。
为每个点分配值“1”。现在我们只需要找到给定区域中的值的总和。在一维情况下，这可以通过 Fenwick 树来完成。但如果使用 2D Fenwick 树，则 2D 情况并没有太大区别。
2D Fenwick 树应该占用太多空间（10¹² 值与给定的约束）。但是 Fenwick 树的二维数组非常稀疏，因此我们可以使用哈希映射来存储其值并将空间需求（和预处理时间）减少到 O(N log²N)。李>

【讨论】：

+1：这看起来不错。如果您还通过增加 Y 对查询进行排序并逐渐将点插入到 Fenwick 树中，那么您也许可以只使用 X 上的一维 Fenwick 树。
这看起来不错。但是如何实现具有如此巨大约束的二维 Fenwick 树呢？如果距离总是一个整数，那么你的想法就足够了。但距离可能总是不是整数。在这种情况下，如果我们使用距离的平方，那么芬威克树将需要 10^12 * 10^12 的空间。尽管它会很稀疏，但我认为这还不够吗？
@user2040997：Fenwick 树的每个维度最多更新每个点的 log N 个值。这意味着哈希映射应存储最多 N*log^2(N) 个值，对于给定的约束，这意味着 4 亿个值。顺便说一下，这个数字不依赖于 x,y 的约束。如果您不需要在线回答查询，您可以使用 Peter de Rivaz 建议的一维 Fenwick 树。在这种情况下，不需要哈希映射。大小为 N 的数组对于一维 Fenwick 树就足够了（因为只有 N 个不同的距离）。 This answer 提供了更多一维案例的详细信息。
如果 Fenwick 树对内存的要求太高了，你可以用 kd-tree 妥协，在 X 方向的中值处分裂，然后在 Y 方向的中值处等等。你可以统计每个子树下的点数；然后如果一个矩形完全在 X > r1 && Y > r1 区域，我们将它的点添加到我们的运行总数中；如果它完全在这个范围之外，我们就把它扔掉；否则我们分开。我认为这应该是“随机”查询的 O(N^(1/2)) 查询时间 - 但可能会构建所有点都在边界上的非常糟糕的情况......

【解决方案2】：

设 C1、C2 为圆盘的中心。设 Pi, i = 1 ... n, 为点。令 Qj, j = 1 ... q, 为第 j 个查询，Qj = (qj1, qj2)。

对于每个点 Pi，计算 d(Pi, Ck)，k = 1 或 2。将其放入已排序的多重映射中：Mk(d(Pi, Ck)) 包含 Pi。这可以在 O(nlogn) 中完成（这实际上就像对距离列表进行排序一样）。
对于每个查询 Qj，在 Mk 的键上对 qjk 进行二分搜索，这可以在 O(logn) 中完成。
对于每个查询 Qj，取小于或等于上面找到的键的多映射值的并集。

【讨论】：

联合步骤有多快？对于较大的 r1,r2 值不是 O(n) 吗？
如何在 O(logn) 中取多图的值的并集？我相信这在最坏的情况下可能需要 O(n)。
@user2040997 我相信这是合并排序的（联合）最佳方案。