从样条/曲线生成一组最小顶点

Question

在我的项目中，我使用样条线表示几何图形。对于物理和渲染，我预处理样条线并将它们转换为线，然后通过定期采样样条线将其转换为多边形。但是，我想通过忽略已经足够用线表示的样本来减少顶点/线的数量。

在搜索时遇到问题，我想知道是否有任何传统技术可以将曲线转换为一组顶点，同时减少产生的错误。

编辑：澄清一下，我想最终得到的结果是一些顶点/线段，它们最能代表具有最少顶点/线段的样条线。我不确定如何定义“最能代表样条曲线”的真正含义，但目标是尽可能难以区分样条曲线和近似值之间的差异。

Answer 1

可以通过递归细化部分末端之间不靠近段的部分来完成。

如果我们有曲线（样条）C:[0,1]->R^n。比第一个近似值是曲线端点[C(0), C(1)] 之间的段S。取点C(0.5) 并检查它与段S 的距离。如果它远远超过我们在离散化中所必须采用的，那么S 是一个很好的近似值。如果C(0.5) 很远，则下一个近似是折线[C(0), C(0.5), C(1)]，我们对部分[C(0), C(0.5)] 和[C(0.5), C(1)] 进行相同的过程。

如果您使用 >= 3 阶的多项式样条（例如三次样条），则它可能具有拐点。在这种情况下，一半的曲线点可能会“落在”段上，但曲线会绕到远离段的位置。在这种情况下，最好再检查一级子部件。

Answer 2

这完全基于我自己的直觉，所以我不确定它是否完全符合最佳实践。我确实有数学学位，所以希望它不会太远。请注意，如果需要频繁重新计算样条线，所涉及的计算可能会超过不使用尽可能多的顶点所带来的性能提升。

假设顶点在像 [v(0), v(1), v(2),..., v(n)] 这样的数组中，其中每个 v(i) 类似于 (x, y ）。通过迭代从 v(1) 到 v(n-1) 的顶点，我们可以将一个点与其邻居进行比较，以判断是否丢弃它。请注意，我们忽略 v(0) 和 v(n) 有两个原因：（我假设）我们不想删除我们的端点，而且 v(0) 和 v(n) 缺少我们需要的邻居为了建立我们的计算。我可以在这里想到几种可能需要检查的可能性，但特别是（在我的脑海中）一种似乎是最好的答案......

考虑我们正在决定是否从顶点数组中删除 v(i) 的情况。我们可以检查 v(i) 与其邻居之间的笛卡尔距离，如果两者都低于某个阈值 T，则删除该点。例如，如果 v(i-1) = (x1, y1) 且 v(i) = ( x2, y2) 和 v(i+1) = (x3, y3)，然后我们评估 sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2))<T && sqrt((x3-x2)^2 + (y3-y2)^2))<T，如果评估返回 true，则删除 v(i)。

在 3 维以上的情况下，这将变得更加复杂 - 计算将类似，但您需要一种确定点的邻居的方法，因为它们可能不会直接位于顶点数组中检查点的旁边。