覆盖所有 (N+1) 个点的最短距离。所有 N 个点都位于 x 轴上。剩余一点位于坐标平面的任意位置

Question

给定(N+1) 点。所有 N 个点都位于 x 轴上。剩余的一个点（HEAD 点）位于坐标平面中的任意位置。 给定 x 轴上的起点。

找到从START点开始覆盖所有点的最短距离。我们可以多次遍历一个点。

例如N+1=4

x 轴上的点
(0,1),(0,2),(0,3)

HEAD Point
(1,1) //只有head point可以在任意位置 //全部在x轴上

起点
(0,1)

我正在寻找一种方法来解决这个问题。 我们应该先访问 HEAD 点还是中间的 HEAD 点。

Answer 1

我试图找到一种使用图论的方法来简化这个问题并减少需要考虑的路径。如果有一种优雅的方法可以使用图形来确定解决方案来表示这个问题，我找不到它。随着 n 的增加，这种方法变得非常低效 - 时间和内存为 O(2^n)。

将此视为树形图，根节点将是起始点，然后它的每个子节点将是它所连接的点。

由于 START 点和除 HEAD 之外的其余点都位于 x 轴上，因此所有非 HEAD 点只需连接到 x 轴上的相邻点即可。这是因为任意两点之间的路径距离是这两个点之间的路径上任意相邻点之间的距离之和（表示x轴上点的节点子集不需要形成完整的图） .这减少了一些蛮力方法。

这是一个简单的例子：

左上角显示了原始问题：x 轴上的点以及 START 和 HEAD 点。

在右上角，这已转换为一个图形，每个节点代表原始问题中的一个点。边表示点之间可以采用的路径。这假定 START 点仅代表路径中的第一个点。与其他节点不同，它只包含在路径中一次。如果不是这种情况并且路径可以返回到 START 点，这将使可能的路径增加大约一倍，但可以遵循相同的方法。

在左下角，START点a是树形图的根，与START点相连的每个节点都是一个子节点。对每个子节点重复此过程，直到：

• 识别出明显不是最优的路径，在这种情况下，可以从图中排除该节点。查看红色框中的节点；不需要在同一个节点之间来回走动。
• 当从根遍历树到该节点时，所有点都会被包括在内，从而产生潜在的解决方案。

请注意，在创建树形图时，每次重复一个节点时，其“潜在”子节点与第一次包含该节点时相同。通过“潜在”，我的意思是仍然需要检查上述情况，因为结果可能包含一条无意义的路径，在这种情况下，该节点将不包括在内。在包含其子节点之后，路径也可能产生潜在的解决方案。

最后一步是将每个潜在解决方案的距离相加，以确定哪条路径最短。

Answer 2

这需要仔细检查不同的情况。

现在假设 START (S) 在最左边，而 HEAD (H) 在中间某处，路径可能类似于

                    H
                   / \
S ---- * ----*----*   * --- * ----*

或者从 H 到另一个节点的时间可能更短

                   H
                  //
S ---- * --- * -- *----------*---*

如果 S 不在一端，您可能会有类似的东西

                    H
                   / \
* ---- * ----*----*   * --- * ----*
  --------S

甚至第一步直接从S到H

                    H
                   / |
* ---- * ----*----*  |
                     S

对案例的全面分析将是相当广泛的。

实际解决问题，可能取决于您拥有的节点数量。如果数字小于 10，则可以进行竞争枚举。只需找出所有可能的路径，消除非法的路径，然后选择最小的路径。路径的数量我认为是 n! 的顺序，所以它对于小 n 是可计算的。

对于较大的 n，您可以将问题分解为小段。我认为只考虑 H 两侧有节点的小补丁和 S 两侧有节点的小补丁就足够了。

这并不是真正的解决方案，而是一种考虑解决问题的可能方式。

（迂腐的 stackoverflow.com 不是堆栈交换网络中此问题的正确站点。Computational Science : algorithms 可能是一个更好的地方。

Answer 3

这是一个有趣的问题。首先，让我们尝试像 Poosh 那样找到一个蛮力解决方案。

关于最短路径的观察

无重复点

您处于欧几里得几何中，因此三角不等式成立：对于所有点 a,b,c，距离 d(a,b) + d(b,c)

排列

因此，我们的问题是找到点 P1...Pn 的数字 1...n 的排列，我们称之为 M_i（其中 P0 是固定起点，Pn 是头点，P1... Pn-1 是通过增加 x 值来排序的，它使 |(P_M_i)-(P_M_(i-1))| 的总和最小化。对于 i 从 1 到 n，||为向量长度 sqrt(v_x²+v_y²)。

一组大小为 n 的排列数是 n!。在这种情况下，我们有 n+1 个点，因此测试所有排列的蛮力方法将具有复杂性 (n+1)!，这甚至高于 2^n 并且绝对不实用，因此我们需要进一步的观察来改进这一点。

后续步骤

我现在的下一步是看看是否有任何其他序列可以被证明不是最优的，从而减少要测试的候选者数量。

非头部点的路径

让我们看看所有路径（不包含头点并且是最佳路径部分的点的索引序列。如果我们不更改路径的起点和终点，那么任何其他转置对外部环境没有影响，我们可以执行纯局部优化。我们可以证明这些序列必须具有单调（增加或减少）x 坐标值，因此是单调索引（因为它们通过索引 0 和 n 之间的 x 坐标升序排序-1）： 我们处于纯一维子空间中，因此路径的总距离等于一个此类点与下一个此类点之间的 x 坐标差的绝对值之和。很明显，通过按 x 坐标以升序或降序排序，从而以相同的方式对索引进行排序，可以最小化这个总和。请注意，这适用于最大此类路径以及它们的所有连续“子路径”。

总结

我们剩下的唯一选择是：

• 我们将头节点放置在最佳路径中的什么位置？
• 我们以哪种方式对左右两条路径进行排序？

这意味着我们有 n 个值作为头节点的索引（1...n，0 固定为起始节点）和 2x2 个值用于排序顺序。所以我们有 4n 个选择，我们都可以计算并选择最短的一个。其中一个排序顺序可能决定了另一个，但我把它留给你。

无论如何，这个算法的复杂度是 O(4n) = O(n)。因为读取问题的输入是 O(n) 并且写入输出也是如此，我相信这是一种具有最佳复杂度的算法。但是，如果我们可以对问题进行一些重新表述，以便我们可以以某种压缩形式读取和写入输入和输出，例如仅使用我们实际解决问题所需的参数，那么我们可能会做得更好。

P.S.：我不是数学家，所以我可能对某些概念使用了错误的词，并且错过了变量和函数的常用符号。如果有任何明显的错误，我会很高兴请专家检查一下。