SageMath：减少商环 (x^2 - x = 0)

Question

感谢您花时间阅读本文，非常感谢。

我的问题是关于如何确保商环内的多项式具有以下属性：

(x^2)k = 0

其中 x 是商环中的任何变量，k 是正整数。

这是我试图解决这种情况的方法：我创建了一个多项式环

P.<x,y,z,w> = PolynomialRing(GF(2), 4, order = 'degrevlex')

由于我不在商环内工作，x^2（或其他三个变量中的任何一个）不会“变成”0。因为我想要 x^2 = 0 的属性，所以我决定创建一个带有一些场方程的商环：

Q = P.quotient_ring(ideal([var**q - var for var in P.gens()]))

q = P.base_ring.order()。 但是，当我创建以下多项式时，它的父项仍然是 P，所以我改变了它的环：

f1 = y*z + y*w + w^2
f1 = f1.change_ring(Q)

但是，当我打印 f1 时，w^2 仍然是 w^2 并且没有减少到 0。请问我是否遗漏了什么？这很烦人，因为我将使用麦考利矩阵，因此，我必须在商环内工作。也许我错过了一些数学，因为这对我来说都是全新的......

这是我的圣人输入：

sage: P.<x,y,z,w> = PolynomialRing(GF(2), 4, order = 'degrevlex')
sage: q = P.base_ring().order()
sage: Q = P.quotient_ring(ideal([var**q - var for var in P.gens()]))
sage: f1 = y*z + y*w + w^2
sage: f1
y*z + y*w + w^2
sage: f1 = f1.change_ring(Q)
sage: f1
y*z + y*w + w^2

如何确保 w^2 = 0？在创建商环并随后更改其环时，我已经尝试将原始多项式添加到场方程中，如下所示：

sage: P.<x,y,z,w> = PolynomialRing(GF(2), 4, order = 'degrevlex')
sage: q = P.base_ring().order()
sage: f1 = y*z + y*w + w^2
sage: Q = P.quotient_ring(ideal([f1] + [var**q - var for var in P.gens()]))
sage: f1 = f1.change_ring(Q)
sage: f1
y*z + y*w + w^2

但正如你所见，什么也没发生…… 谢谢！

Answer 1

您应该使用f1 = Q(f1) 而不是f1 = change_ring(Q)。 change_ring 只影响系数，而不影响不定数，而 Q(f1) 强制多项式 f1 存在于 Q 中，将每个变量转换为 Q 中的图像。例如：

sage: P.<x,y,z,w> = PolynomialRing(GF(2), 4, order = 'degrevlex')
sage: q = P.base_ring().order()
sage: Q = P.quotient_ring(ideal([var**q - var for var in P.gens()]))
sage: f1 = y*z + y*w + w^2
sage: f1
y*z + y*w + w^2
sage: f1.change_ring(Q)
y*z + y*w + w^2
sage: Q(f1)
ybar*zbar + ybar*wbar + wbar

带有bar的变量是Q中的图片。

另一个选项，在定义Q之后：

sage: x,y,z,w = Q.gens()
sage: f1 = y*z + y*w + w^2 # now living in Q, since x,y,z,w are in Q
sage: f1
ybar*zbar + ybar*wbar + wbar

顺便说一句，如果你想让w^2 为零，你不应该强加关系w**2 而不是w**2 - w？