如何找到 3D 曲线和 3D 曲面的交点？

Question

我试图找到曲线和 3D 表面的交点，但没有运气。曲面为圆锥形，曲线为双曲线，如图所示。 CONE AND THE CURVE

这模拟了光线照射到某个表面。我尝试使用二分法，但它似乎不起作用。然后我尝试了牛顿的算法，但结果仍然不好。

还有其他适合解决这类问题的好的算法吗？

Answer 1

以参数形式给出的曲线

x = fx(t)
y = fy(t)
z = fz(t)

和曲面通过一个方程的形式

g(x,y,z) = 0

只需插入曲线函数，二等分就可以工作：

g(fx(t), fy(t), fz(t)) = 0

唯一的问题是找到合适的起点 t1 和 t2，其中 g 符号相反。

Answer 2

问题

您正在搜索曲线-曲面相交算法。请注意，曲线和曲面都可以以 implicit 形式或 parametric 形式表示。隐式形式的表面由方程 F(x, y, z) = 0 定义，它是 x, y 的二次多项式， z 在圆锥曲面的情况下。参数形式的曲面由其参数的点值函数 S(u, v) 定义（例如，您可以使用沿锥轴的距离和极角作为锥面的参数）。曲线通常仅以参数形式描述，作为带有参数 t 的函数 C(t)，对于双曲线来说，它可能是二次的。

隐式表面

最简单的情况是将您的问题视为参数曲线与隐式曲面的交集。在这种情况下，您可以用单个变量 t 写出单个方程 q(t) = F(C(t)) = 0。当然，牛顿迭代在一般情况下并不能保证找到所有解，只有找到两个具有不同符号q(t)的点，二分法才能肯定找到一个解。

在您的情况下，q(t) 是一个四次多项式（在将二次曲线参数化放入二次曲面方程之后）。理论上可以用Ferrari's analytic formula 解决，但我强烈建议不要这样做，因为它在数值上非常不稳定。您可以在此处应用任何流行的多项式求解器，例如 Jenkins-Traub 算法或 companion matrix 的特征值算法（另见 this question）。您还可以使用区间数学的方法：例如，您可以递归地将参数 t 的域区间细分为更小的部分，同时修剪所有肯定不包含零的部分（interval arithmetic 会有所帮助你来检测这些碎片）。

参数曲面

现在我们可以继续讨论曲线和曲面都以参数方式表示的情况。我不知道任何解决方案可以受益于您的曲面是圆锥形且曲线是双曲线的事实，因此您必须应用一般的曲线曲面相交算法。或者，您可以将隐式定义的锥体拟合到参数曲面中，然后将上述解用于四次多项式根。

很多可靠的通用交集算法都是基于细分方法（实际上又是区间数学）。总体思路是不断地将曲线和曲面分割成越来越小的块。肯定不相交的棋子对被尽快丢弃。最后，您将获得一组小块对，紧密地限制您的交点。 Yoy 可能希望从它们中运行牛顿迭代，以使交点精确。

这里是一个示例算法的概要：

1. 从单个曲线段（整个输入曲线）和单个曲面开始 一块（整个表面），以及这些块的一个潜在相交对 (PIP)。
2. 将每个曲线段细分为两半（按参数），将每个曲面段细分为四个象限（按两个参数）。
3. 对于每个旧 PIP，检查所有 8 对半曲线与曲面象限。如果它们确实不相交，请忘记它们。如果它们可以相交，请将它们另存为新的 PIP。
4. 除非所有片段都足够小，否则从第 2 步开始重复使用新片段和 PIP-s。

对于每一对曲线段和曲面段，您必须检查它们是否可能相交，这可以通过检查它们的轴对齐边界框来轻松完成。此外，您可以将曲线和曲面表示为 NURBS，在这种情况下，您可以使用凸包作为更紧密的边界体积。

一般来说，这种算法有很多变化和改进。我建议您阅读以下文献以获得更深入的知识：

• 用于计算机辅助设计和制造的形状查询。
  1. chapter 4：用于根求解器
  2. section 5.7: 用于曲面相交
• PhD of Michael Hohmeyer。
  1. 第 4.5 节：曲线与曲面相交
  2. 第 4.1 和 4.2 节：用于凸包相交（如果你足够勇敢的话）。

底线

如果您正在寻找一个简单且可行的解决方案，并且您确定双曲线和圆锥是您唯一需要担心的事情，那么您最好使用圆锥的隐式定义并使用一些标准数值求解四次方程算法来自一个可供您使用的好库。