预测 2 个均匀圆周运动对象之间的碰撞

Question

这是我在论坛上的第一个问题，我的代数生锈了，所以请放纵^^'

所以我的问题是我想预测两个匀速圆周运动物体之间的碰撞，我知道它们的速度（弧度角速度）、到原点的距离（半径）、圆心的笛卡尔坐标。

我可以使用 t 时间（时间戳）获得每个对象的笛卡尔位置：

Oa.x = ra X cos(wa X t)

Oa.y = ra X sin(wa X t)

Oa.x: 对象 A x 坐标 ra: 圆 A 的半径 wa: 物体 A 的速度（以弧度为单位的角速度） t：时间（时间戳）

对象 b (Ob) 也是如此

我想找到这样的||Ca - Cb|| = (rOa + rOb)

rOa: 对象a的半径

平方和扩展给我这个： ||Ca-Cb||^2 = (rOa+rOb)^2

(ra * cos (wa * t) - rb / cos (wb * t))^2 + (ra * sin (wa * t) - rb / sin (wb * t))^2 = (ra+rb)^2

从中我应该得到一个可以求解 t 的二次多项式，但是我怎样才能找到一个条件来告诉我这样的 t 是否存在？并且可能，如何解决它？

Answer 1

你的运动方程缺少一些我期望的东西：

a0(t) = omg0*t + ang0
x0(t) = cx0 + R0 * cos(a0(t))
y0(t) = cy0 + R0 * sin(a0(t))

a1(t) = omg1*t + ang1
x1(t) = cx1 + R1 * cos(a1(t))
y1(t) = cy1 + R1 * sin(a1(t))

其中t 是以 [sec] 为单位的时间，cx?,cy? 是以 [rad] 为单位的旋转中心 ang? 是以 [rad] 为单位的起始角度 (t=0)，omg? 是以 [rad/sec] 为单位的角速度。如果对象的半径为r?，则当距离为 r0+r1

时会发生碰撞

所以你想找到最小的时间：

(x1-x0)^2 + (y1-y0)^2 <= (r0+r1)^2

这很可能会导致超越方程，因此您需要数值方法来解决这个问题。对于这样的事情，我通常使用Approximation search 来解决这个问题：

1. 将t 从0 循环到某个合理的时间限制

   碰撞将以恒定频率发生，并且碰撞之间的时间可以被两个运动的周期整除，所以我会测试 lcm(2*PI/omg0,2*PI/omg1) 时间限制，其中 lcm 是最小公倍数

   不要用蛮力循环t通过所有可能的时间，但使用启发式（如上面链接的近似搜索）注意初始时间步长必须合理我会尝试dt = min(0.2*PI/omg0,0.2*PI/omg1)所以你至少有10个点沿着圆圈

2. 求解t，使物体之间的距离最小

   但是，这将找到对象完全碰撞以使它们的中心合并的时间。因此，您需要减去一些恒定时间（或再次搜索），这将使您开始碰撞。这次你甚至可以使用二分搜索，因为距离是单调的。

3. lcm(2*PI/omg0,2*PI/omg1)之后会出现下一次碰撞

   所以如果你找到了第一次碰撞时间tc0 那么

   tc(i) = tc0 + i*lcm(2*PI/omg0,2*PI/omg1)
   i = 0,1,2,3,...