将具有新数据集的 n 顶点多边形扩展为 n 顶点多边形答案

【问题标题】：Expanding a n-vertices polygon with a new data set to a n-vertices polygon将具有新数据集的 n 顶点多边形扩展为 n 顶点多边形
【发布时间】：2009-09-08 14:52:55
【问题描述】：

有一个简单的多边形 P1，有 n 个顶点，n 很小，比如说 8。这个多边形应该代表一些 2D 点集的周长。

接下来，我们有另一个多边形，我们称之为 P2，也有最大顶点数 n。 P2 靠近 P1，因此绘制一个新的多边形 P3 是有意义的，它将一起描述 P1 和 P2 的面积。

我正在寻找算法来选择新多边形 P3 的点。我想尽可能好地描述（仍然有 n 个点！）P1 + P2 的形状：用于创建多边形且仍在新多边形 P3 内的点的数量应最大化，但面积P3 尽可能小。

扩大多边形的过程会在我的应用程序中反复调用。

【问题讨论】：

这个问题不清楚。 P3 的内部必须包含 P1 和 P2 的内部吗？ P3 的所有顶点必须是 P1 或 P2 的顶点吗？ P1 和 P2 可以重叠吗？
对不起。是的，P1 和 P2 的内部应由 P3 描述。是的，P1 和 P2 重叠或至少在躺卧区域附近。要构建 P3，我们可以使用 P1 和 P2 的任何顶点，但不能超过设置“n”（描述的大小应保持不变）。所以问题是从 2 组 n 点中选择 1 组 n 点，有序（所以，我们可以绘制一个多边形，检查其他点是否属于它......），所以新的 n 点最适合总和两个原点形状的一起。
更简单的问题陈述：我们有n个边的多边形P，有一个新的顶点V_new。我们想将它包含在 P 中。P 的 n 个顶点中的哪个应该从 P 中驱逐？

标签： geometry 2d polygon

【解决方案1】：

如果我正确地阅读了这个问题，那是不可能的。考虑一个“半圆”，由沿曲线的 N 个点定义，而在直边上没有一个点。让 P1 和 P2 是两个这样的半圆，它们的直边像这样相互面对：(||)。显然，唯一包含它们的多边形包含所有 2N 个点。

更简单的问题（引入一个新顶点并选择一个旧顶点驱逐）也是不可能的：考虑一个三角形，以及靠近边缘中间的一个新点。

如果我们放弃内部不能丢失的要求，那么问题可以解决，但并不完美。我建议您尝试其中一些，看看您最适合哪种套件。

只需将 P1 和 P2 组合成一个 2N 多边形，然后消除所有其他顶点（d.h. 保留顶点 2、4、6...）。粗制滥造，但也许足够好。
将两个最近的邻居合并为一个。重复直到你只剩下N。
消除“最直”的顶点，直到只剩下 N 个。
从 2N 多边形开始，然后通过取其两条边的叉积来测量每个顶点对区域的贡献。如果是正数，这个顶点是凸的并且“保护”了大部分内部。如果为负，这是一个“排除”大部分外部的凹顶点。现在消除最不有价值的顶点。请注意，这不是完美的方法，因为消除两个邻居可能会造成比分数显示的更大的损害。

【讨论】：

谢谢。你的问题是对的。我知道，具有 N 个顶点的新多边形并不完美（不会包括 P1 和 P2 中的所有点）。我可以选择占用太多区域或不够。我只是想让不精确性尽可能小。我喜欢你的想法，我会考虑的。重要的是，这是一个新问题，尚未解决。否则，我会采用现有的解决方案。
我的问题的好处是，我为其创建多边形的点集以某种方式规则地分布。我们可以将这些点视为稀疏图的顶点，其中边的长度是有限的。事实上，它们代表了无线电信网络。信息交换也只发生在图中的邻居之间。当我对不同政策的（覆盖）效率有结果时，我会在这里报告。

【解决方案2】：

听起来您正试图找到一组具有可接受的点密度的多边形。有没有考虑构建一系列convex hulls？向外扩展您的集合，每次添加一个点时构建新的凸包。求新船体的密度。如果不可接受，请删除该点并选择其他点。到达目标区域或总点数时停止。

这也可以反过来应用。您可以使用初始多边形 P1 和 P2 播种凸包，然后考虑丢弃单个点并计算新密度。最有用的去除点是使密度增加最大化的点。重复直到满意为止。

简单的 O(n logn) convex hull algorithms 存在于二维中。 Qhull 是一个不错的 C 实现。

【讨论】：

我的形状不能是凸的，例如，它可以看起来像一个肾脏。但是，扔掉积分的想法是可行的，因为我最多只有 2n 个积分。目标是通过使用新的多边形 P3 作为分类器，如果平面上的某个点属于区域 P1+P2，则同时最大化分类精度 P 和召回率 R。我不明白你关于密度的评论。感谢您的回答。
@Joanna：我说的密度，就是单位空间面积的点数。我同意你关于肾脏形状的观点。有许多相关问题可能对您有所帮助。参见例如stackoverflow.com/questions/83593/…
@ire_：来自引用链接的凹壳算法是我需要的。完美会给出一个固定数量的点，否则我将不得不在每次迭代时修剪结果。美好的一天，谢谢！