我可以使用什么更准确的算法来计算数字的正弦？

Question

我有这段代码计算正弦的猜测并将其与标准 C 库（在我的例子中是 glibc）的结果进行比较：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double double_sin(double a)
{
    a -= (a*a*a)/6;

    return a;
}

int main(void)
{
    double clib_sin = sin(.13),
             my_sin = double_sin(.13);
    printf("%.16f\n%.16f\n%.16f\n", clib_sin, my_sin, clib_sin-my_sin);
    return 0;
}

double_sin 的准确度很差（大约 5-6 位）。这是我的输出：

0.1296341426196949
0.1296338333333333
0.0000003092863615

如您所见，.12963 之后，结果不同。

一些注意事项：

• 我认为泰勒级数不适用于这种特定情况，更高准确度所需的阶乘无法存储在 unsigned long long 中。

• 查找表不是一种选择，它们占用太多空间，并且通常不提供任何有关如何计算结果的信息。

• 如果您使用幻数，请解释它们（尽管我更喜欢不使用它们）。

• 我更喜欢一种算法易于理解并且能够用作参考，而不是那些不是的算法。

• 结果不必完全准确。最低要求是 IEEE 754、C 和/或 POSIX。

• 我使用的是IEEE-754 double格式，可以信赖。

• 支持的范围至少需要从-2*M_PI 到2*M_PI。如果包括范围缩小，那就太好了。

我可以使用什么更准确的算法来计算数字的正弦？

我有一个类似于 Newton-Raphson 的想法，但用于计算正弦值。 但是，我在上面找不到任何东西，正在排除这种可能性。

Answer 1

您实际上可以非常接近泰勒级数。诀窍不是每次迭代都计算全阶乘。

泰勒级数如下所示：

sin(x) = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7!

查看各项，您可以通过将分子乘以 x^2、将分母乘以阶乘中接下来的两个数字并切换符号来计算下一项。然后在添加下一项不会改变结果时停止。

所以你可以这样编码：

double double_sin(double x)
{
    double result = 0;
    double factor = x;
    int i;

    for (i=2; result+factor!=result; i+=2) {
        result += factor;
        factor *= -(x*x)/(i*(i+1));
    }
    return result;
}

我的输出：

0.1296341426196949
0.1296341426196949
-0.0000000000000000

编辑：

如果以相反的方向添加术语，则可以进一步提高准确性，但这意味着计算固定数量的术语：

#define FACTORS 30

double double_sin(double x)
{
    double result = 0;
    double factor = x;
    int i, j;
    double factors[FACTORS];

    for (i=2, j=0; j<FACTORS; i+=2, j++) {
        factors[j] = factor;
        factor *= -(x*x)/(i*(i+1));
    }
    for (j=FACTORS-1;j>=0;j--) {
        result += factors[j];
    }
    return result;
}

如果 x 超出 0 到 2*PI 的范围，则此实现会失去准确性。这可以通过在函数开始时调用x = fmod(x, 2*M_PI); 来规范化值来解决。