为什么使用余弦来计算弧的 x 值和正弦 y 值？答案

【问题标题】：Why is cosine used to calculate the x values and sine the y values for an arc?为什么使用余弦来计算弧的 x 值和正弦 y 值？
【发布时间】：2010-08-15 18:05:27
【问题描述】：

我试图理解这个 raphael.js 演示中的数学：

http://raphaeljs.com/pie.js

查看扇区方法：

function sector(cx, cy, r, startAngle, endAngle, params) {
    var x1 = cx + r * Math.cos(-startAngle * rad),
        x2 = cx + r * Math.cos(-endAngle * rad),
        y1 = cy + r * Math.sin(-startAngle * rad),
        y2 = cy + r * Math.sin(-endAngle * rad);
    return paper.path(["M", cx, cy, "L", x1, y1, "A", r, r, 0, +(endAngle - startAngle > 180), 0, x2, y2, "z"]).attr(params);
}

这是实际的演示： http://raphaeljs.com/pie.html

我的数学有点生疏，我正在尝试理解扇形函数 - 给定 startAngle 和 endAngle 参数（每个起点和终点值都在 0 到 360 之间绘制一条弧线），为什么这个函数会起作用？

【问题讨论】：

不要尝试 mathoverflow.net 来做这样的事情——@Steven 请不建议这样做，除非问题真的是“研究生研究水平”数学。请改用StackExchange math site。

标签： javascript math geometry trigonometry graphing

【解决方案1】：

看看 sin 和 cos 的实际意思是什么：

如果圆上有一个点形成角度 alpha，则 cos alpha 是该点的 x 部分，而 sin alpha 是 y 部分。

这个插图解释了为什么角度被否定。

这意味着，您现在可以指定顺时针角度，这是大多数使用模拟时钟的人更喜欢的角度。

【讨论】：

@Luther：正如我在回答中所说，这完全取决于您决定如何处理角度。 cos 与 x 轴固有地无关 - 只是因为该图表测量了与 x 轴的角度。
（特别是，这张图没有解释为什么每次都会否定角度。）
否定是什么意思？谢谢。
@apphacker：看代码：r * Math.cos(-startAngle * rad)。它占用了cos 的-startAngle，而不是startAngle。我相信这是由于顺时针测量的角度。有关详细信息，请参阅我的答案。
确实是所有这些答案和 cmets 的组合对我有帮助，但图表确实让事情变得更容易了。谢谢。

【解决方案2】：

这完全取决于您如何对待startAngle 和endAngle。看起来这将它们视为从水平开始向右（即角度 0 指向东方）和顺时针方向（因此 45 度角指向东南方向。

通常在数学中，我们考虑从水平方向向右开始的角度，但逆时针方向增加......但如果你让非数学家画一个角度，他们可能会从垂直向上（即北）处理它顺时针增加。这看起来像是混合在一起:) 这里没有真正“错误”或“正确”的答案——这都是定义问题。

由于图片很流行，这里是我描述的三个系统，每个系统都假设行的长度为r：

普通数学：从 x 轴逆时针方向

_{（来源：arachsys.com）}

让街上的人画一个角度（从 y 轴顺时针方向）

此代码使用的角度（从 x 轴顺时针方向）

【讨论】：

Jon，你是用什么来生成这张手写但清晰易读的可爱图片的？我过去曾使用过 Zwibbler 来处理此类事情：zwibbler.com
@duffymo：一张纸、一支笔和一台扫描仪。
真正的天才 == 简单。不错。
我不知道角度有方向。明白了很多，谢谢。
为了清楚起见，这是 HTML5 的 Canvas 中使用的坐标，角度是顺时针方向并从 x 轴开始。

【解决方案3】：

因为圆心 (cx, cy) 和半径 R 的圆周上的任意点具有以下坐标（它直接来自 cos 和 sin 几何定义 - 对应的导管和斜边的长度之间的比率）：

x = cx + R*cos(a)
y = cy + R*sin(a) for  0 <= a < 2π

所以对角度 a 设置限制，您可以定义任意弧。

【讨论】：

【解决方案4】：

如果您将 0° 视为水平且 x 增加，将 90° 视为垂直且 y 增加，则为：

cos(0) = 1
sin(0) = 0

cos(90) = 0
sin(90) = 1

您可以通过乘以余弦来改变 x 值，并通过乘以正弦来改变 y 值。

【讨论】：