CPLEX - 降低成本

Question

我目前正在与 cplex 合作，并试图确定 LP 的成本降低。我对结果有点困惑。我目前对降低成本的理解是，它描述了在变量成为解决方案的一部分之前，目标函数系数必须提高的量（值 = 1）。

因此，所有基本变量（解决方案中的非零）都降低了零成本。我读到不属于当前解决方案的变量，如果它们处于其极限之一，也可以将成本降低为零。这是真的吗？

以下 LP 的降低成本让我感到困惑：

minimize 100*x1 + 3*x5
0 <= x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8
x0 = 1
x0 - x1 - x2 = 0
x3 = 1
x3 - x4 = 0
x1 - x6 = 0
x2 - x7 = 0
-x4 + x5 - x8 = 0
-x5 + x6 + x7 + x8 = 0

如果我使用 cplex 来计算降低的成本，我会得到以下结果。

Objective Value = 3
Solution = [1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0]
Reduced Cost = [0 0 0 0 0 0 100 0 3]

我不明白为什么变量 x1 的成本降低为零，它既不是解决方案的一部分，也不是上限。对于变量 x7，x1 的减少值是否不是 100。如果我将 x1 的值加一，我得到的解决方案会差 100（成本），对吧？

这里是我的 C++ 代码：

#include <ilcplex/ilocplex.h>

int main () {
  IloEnv             env;
  IloModel     model(env);
  IloNumVarArray   x(env);
  x.add(IloNumVar(env)); //default: between $0$ and $+\infty$ 
  x.add(IloNumVar(env));
  x.add(IloNumVar(env)); 
  x.add(IloNumVar(env));
  x.add(IloNumVar(env)); 
  x.add(IloNumVar(env));
  x.add(IloNumVar(env));
  x.add(IloNumVar(env));
  x.add(IloNumVar(env));
  model.add(x[0] == 1);
  model.add(x[0]-x[1]-x[2] == 0);
  model.add(x[3] == 1);
  model.add(x[3]-x[4] == 0);
  model.add(x[1]-x[6] == 0);
  model.add(x[2]-x[7] == 0);
  model.add(-x[4]+x[5]-x[8] == 0);
  model.add(-x[5]+x[6]+x[7]+x[8] == 0);
  model.add(IloMinimize(env, 100*x[1] + 3*x[5]));
  IloCplex cplex(model);
  cplex.solve();
  std::cout << "Min=" << cplex.getObjValue() << std::endl;
  IloNumArray v(env);
  cplex.getReducedCosts(v, x);
  std::cout << v << std::endl;
  env.end();
}

Answer 1

我了解到，不属于当前解决方案的变量如果处于其极限之一，也可以将成本降低为零。这是真的吗？

是的。如果变量不在其极限，则它们的成本降低为零。如果它们处于其中一个极限，它们仍然可以将成本降低为零，以防存在多个原始最优解。

那么，你的问题可以看成是以下网络的流量问题：

每条弧线代表它进入的节点的变量值（例如，1 = x0）。最优解对应路径0-2-7-5-4-3，总成本为3。如果您强制x1（或x6）等于1，则解决方案将更改为x0=x1=x6=x5=x4=x3=1。

现在，双重价值和影子价格只有在最优基础保持不变时才有意义。强制x1=1 会改变最优基（因为不同的路径是最优的），因此对应的对偶值可能没有意义。

对降低成本的另一种解释是将其视为非负约束的双重价格（即，显示在一个单位的非基本或零级基本的情况下目标函数将增加多少变量被强制进入第 1 级的基础 - 假设非负约束）。同样，如果这种改变改变了最优基础，它的值可能不正确。

由于降低的成本是相应非负约束的对偶值，您可以尝试的另一个实验是显式添加非负约束作为约束，然后检查它们的对偶值。对于x6>=0，我得到对偶值 100，右侧允许增加 = 1，而对于 x1>=0，我得到对偶值 0，右侧允许增加 0 . 这实际上意味着对偶值（在这种情况下是降低的成本）没有意义。

我希望这会有所帮助。